אקונומטריקה

ההנחות הקלאסיות

שתי התכונות האלה (חוסר הטיה ושונות קטנה יחסית) של האומדים מתקיימות רק אם מתקיימות 5 הנחות. ההנחות הללו נקראות ההנחות הקלאסיות:

  1. המשתנים המסבירים אינם משתנים מקריים.
  2. בכל  אחת מהתצפיות התוחלת של  היא 0.
  3. בכל אחת מהתצפיות, השוׂנוּת של  זהה (מסומנת ).
  4. אין מתאם בין -ים של תצפיות שונות.
  5. בכל אחת מהתצפיות התפלגות  היא נורמלית.

הערה: הנחה (5) איננה הכרחית לקיום חוסר ההטיה והשונות הקטנה של האומדים, אך בלעדיה לא היינו יכולים לצייר את התרשימים שלעיל שהם בצורת העקום הנורמלי.

המשתנים המסבירים אינם משתנים מקריים (הנחה 1)

בניסוי על ערוגות החצילים שתואר בפרקים הקודמים, כמות המים שבה הושקתה כל ערוגה (X) לא היתה משתנה מקרי, כיוון שהיה ידוע מראש כמה מים מקבלת כל ערוגה. החוקר היה יכול לעשות ניסוי אחר: במקום לרכז את כל הערוגות בחממות הניסויים שלו ולהשקות אותן כרצונו, הוא היה יכול לפזר את ערוגותיו ב- 20 מקומות שונים בארץ, מדן ועד אילת, ליד כל ערוגה להניח מד גשם, ולהניח לחצילים לצמוח ממי הגשמים בלבד. גם בניסוי הזה ניתן לדעת את כמות המים שקיבלה כל ערוגה ואת משקל החצילים וכך לאמוד את הקשר שבין כמות המים למשקל החצילים, אבל בניסוי זה כמות המים (המשתנה המסביר) היא משתנה מקרי, כי כמות הגשם איננה ידועה מראש.

בכל אחת מהתצפיות התפלגות  היא נורמלית (הנחה 5); בכל  אחת מהתצפיות התוחלת של  היא 0 (הנחה 2); בכל אחת מהתצפיות, השוׂנוּת של  זהה (הנחה 3).

ההתפלגות של הסטיות האקראיות מהקו () זהה בכל תצפית ותצפית, והיא מקבלת את הצורה של העקום הנורמלי ("הפעמון"), כאשר במרכז הפעמון נמצא הערך 0.

באופן זה הערך של המשתנה המוסבר מתפלג בצורה של העקום, כשהסיכוי ש-  יהיה שלילי הוא 50%, והסיכוי ש-  יהיה חיובי גם הוא 50%.

הפיזור אף הוא זהה בין התצפיות.

הוא יכול להיות קטן כמו בתרשים הבא:

אקונומטריקה הנחות קלאסיות

כאשר הפיזור של  קטן, אזי בכל אחת מהתצפיות  מקבל בסיכוי גבוה ערכים קרובים ל- 0. במקרה זה התצפיות קרובות לקו הרגרסיה.

הפיזור יכול להיות גם גדול כמו בתרשים הבא:

אקונומטריה הנחות קלאסיות

כאשר הפיזור של  גדול, אזי בכל אחת מהתצפיות  יכול לקבל בסיכוי גבוה ערכים רחוקים מ- 0. במקרה זה יהיו תצפיות רחוקות מקו הרגרסיה.

התרשים הבא ממחיש מצב שבו השונות איננה קבועה (הפרה של הנחה 3): 

יש אזור שבו השונות קטנה (התצפיות מפוזרות בקרבת הקו) ויש אזור שבו השונות גדולה (התצפיות רחוקות מהקו).

אקונומטריקה הנחות קלאסיות

אין מתאם בין -ים של תצפיות שונות (הנחה 4)

להנחה זו יש משמעות עבור מדגמים שבהם ניתן לסדר את התצפיות, בעיקר נתונים המסודרים לפי הזמנים שאליהם הם שייכים. למשל, אם נרצה לבדוק איך מתפתח התוצר הלאומי בישראל כפונקציה של הזמן, נוכל לאסוף נתונים המסודרים לפי שנים. 

להלן נתונים של הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה על התוצר המקומי הגולמי בישראל משנת 1950 ועד שנת 1995 (במליוני ש"ח במחירי 1995).

 שנה

מקומי גולמי תוצר

שנה

מקומי גולמי תוצר

1950

12,901

1973

108,723

1951

16,788

1974

114,722

1952

17,527

1975

119,116

1953

17,273

1976

120,996

1954

20,624

1977

123,446

1955

23,439

1978

128,517

1956

25,529

1979

134,588

1957

27,786

1980

139,378

1958

29,821

1981

145,961

1959

33,624

1982

148,040

1960

35,844

1983

151,868

1961

39,750

1984

155,225

1962

43,720

1985

162,134

1963

48,327

1986

167,891

1964

53,122

1987

178,209

1965

57,383

1988

184,560

1966

57,957

1989

187,180

1967

59,293

1990

199,595

1968

68,408

1991

211,760

1969

77,108

1992

226,911

1970

83,020

1993

235,468

1971

92,373

1994

251,977

1972

103,677

1995

268,442

הנתונים שבטבלה מוצגים בגרף שלהלן (נקודות בכחול), כמו כן מופיע (בורוד) קו הרגרסיה המתאים. כמו בכל קו רגרסיה, חלק מהתצפיות מופיעות מעל לקו (ה- חיובי) וחלק מתחת לקו (ה- שלילי). אך בגרף שלהלן נקודות שמעל לקו נמצאות בסמיכות זו לזו ונקודות שמתחת לקו נמצאות בסמיכות זו לזו. כלומר, אם  של תצפית מסויימת הוא חיובי, אזי ה- של התצפית הסמוכה יטה להיות חיובי אף הוא, ואם  של תצפית מסויימת הוא שלילי, אזי ה- של התצפית הסמוכה יטה להיות שלילי אף הוא. במקרה כזה אנו אומרים כי יש מתאם בין ה--ים, והנחה (4) לא מתקיימת.

הפיזור אף הוא זהה בין התצפיות.

הוא יכול להיות קטן כמו בתרשים הבא:

אקונומטריקה הנחות קלאסיות

ההנחות הקלאסיות582ההנחות הקלאסיות