מתמטיקה א' - לכלכלנים

בניית פונקציה (סופית) בעזרת פונקציות משנה

הקדמה

ישנם מקרים לא מעטים שבהם פונקציה A כלשהי, שנקרא לה הפונקציה הסופית, מבוססת על פונקציות משנה.

הקשר בין הפונקציה הסופית לפונקציות המשנה יכול להיות במספר מסלולים, כגון:

1. חיבור ו/או חיסור של מספר פונקציות.

2. כפל או חילוק של מספר פונקציות.

3. הכפלת פונקציה בנתון קבוע כלשהו.

לכל הפונקציות והנתונים שהשתתפו ביצירת הפונקציה הסופית נקרא מרכיבי הפונקציה הסופית.

קיים כמובן שיוויון בין הפונקציה הסופית למרכיביה.

 

דוגמה מהתחום הכלכלי לפונקציה סופית המבוססת על פונקציות משנה

במפעל להרכבת כסאות, הייצור מתבצע ב- 2 מחלקות:

במחלקה א' – מרכיבים כסאות רק באמצעות פועלים. 

במחלקה ב' – מרכיבים כסאות רק באמצעות מכונות.

x מסמל את כמות הפועלים    

y מסמל את כמות המכונות

 

נתוני השוק

I.   שכר פועל ליום             100 ש"ח. תפוקתו היומית של פועל –  3 כסאות.

II.  עלות מכונה ליום          150 ש"ח. תפוקתה היומית של מכונה –  10 כסאות

III. מחיר כסא                   60 ש"ח.

 

כלכלני המפעל מתבקשים לבנות על בסיס נתוני השוק את פונקציית הרווח של המפעל שנסמלה: π (x,y), שהיא הפונקציה הסופית לגבינו. 

R(x,y) היא פונקציית המשנה לגבינו (פונקציית הפדיון).

 

פונקציית הרווח, כפי שנסביר בהמשך, מתבססת על 3 פונקציות משנה שהן:

1. פונקציית הייצור. 
2. פונקציית ההוצאות.        
3. פונקציית הפדיון.


פירוט פונקציות המשנה ומשמעותן

פונקציית הייצור [סימול P(x,y)]

פונקציית הייצור נותנת ביטוי לכמות הכסאות שניתן להרכיב בכל צירוף של פועלים ומכונות.

סימול הפונקציה ומרכיביה הם: P(x,y)=3x+10y  (P - קיצור של Production).

 

פונקציית הפדיון [סימול R(x,y)]

פונקציית הפדיון מתקבלת כמכפלה של פונקציית הייצור במחיר לכסא.

סימול הפונקציה ומרכיביה הם:  R(x,y)=₪60·(3x+10y)

(R - קיצור של Revenue).

 

פונקציית ההוצאות [סימול C(x,y)]

פונקציית ההוצאות נותנת ביטוי להוצאות הכרוכות בכל צירוף של פועלים ומכונות.

סימול הפונקציה ומרכיביה הם:  C(x,y)=₪100x+₪150y

(C - קיצור של Cost).

 

פונקציית הרווח [ סימול π (x,y) ]

פונקציית הרווח מתקבלת כהפרש בין פונקציית הפדיון לפונקציית ההוצאות.

סימול הפונקציה ומרכיביה הם:  

π(x,y)=R(x,y)-C(x,y)=[60(3x+10y)]-[100x+150y]

 

 

מציאת הרווח המקסימלי

בפרק הבא נלמד כיצד באמצעות נגזרות ניתן למצוא את ההרכב של x ו- y שמניב את הרווח המקסימלי.

בניית פונקציה (סופית) בעזרת פונקציות משנה595בניית פונקציה (סופית) בעזרת פונקציות משנה