מתמטיקה א' - לכלכלנים

גבולות – הקדמה

  1. כאשר מציבים ערך כלשהו של x בפונקציה, מקבלים את תוצאת הפונקציה באותו ערך. לדוגמה, בפונקציה `f(x)=1/x` , כאשר מציבים 3=x, מקבלים  `f(x)=1/3` .
  2. ב- 2 תרחישים התוצאה שנקבל תהיה חסרת משמעות:
     - בפונקציה לא רציפה, כאשר ערך ה-x מתייחס לנקודת הפיצול.
     - בפונקציה רציפה, כאשר =x או ∞-
  3. מטרת הפרק היא להעריך את תוצאת הפונקציה בסמיכות (מיקרוסקופית) לערכי ה- x שמניבים תוצאה חסרת משמעות.

 

גבול (Limit בשפת המתמטיקה)

המונח גבול או גבולות, בהקשר המתמטי, בא לציין שאנו עוסקים בגבול או גבולות של נקודה בודדת כלשהי הנמצאת על גבי עקום הפונקציה, או בגבול של הפונקציה כאשר ה-x גדל עד אינסוף (או קטן עד מינוס אינסוף).

 

הגבולות של נקודה

הגבולות של כל נקודה על עקום הם 2 הנקודות הגובלות בה מ-2 צידיה. כל נקודה מהווה גבול. במילים אחרות: הגבולות הם תוצאות הפונקציה משני צידי הנקודה.
כל נקודה על גבי עקום הפונקציה, מציינת את תוצאת הפונקציה בערך x כלשהו.
לאור זאת הנקודות הגובלות בנקודה על העקום מ-2 צידיה, הן תוצאת הפונקציה בערכים הגובלים לערך x משני צדדיו. נסמל את הערך משמאל ל-x: `[x-A]`   ואת הערך שמימין ל- x: `[x+A]`  .
3 הערכים: `[x+A]`, `X` ,`[x-A]` צמודים זה לזה.
כאשר אנו מתעניינים בתוצאות הפונקציה בנקודה כלשהי ובגבולותיה, אנו למעשה מתעניינים ב-3 נקודות צמודות על העקום.

בתרשים A משורטט קטע מהפונקציה `f(x)=ax^2+bx+c`  (פרבולה). תוצאת הפונקציה בערך 2=x היא 8 וגבולותיה (תוצאות הפונקציה מ-2 צידי הנקודה) נושקות ל-8.

הערה: לצורך המחשת התיאור בתרשים, עִיבֵּינוּ את הנקודות והשארנו רווחים בין הקווים האנכיים. בפועל גם הקווים וגם הנקודות הם בעובי מיקרוסקופי וצמודים זה לזה.

תרשים A

הגבולות של נקודה

שוני זניח בתוצאות

היות והשוני בתוצאות של 3 הנקודות (הנקודה וגבולותיה) הוא זניח, ניתן לומר שקיים ביניהן שוויון.

 

בפונקציה רציפה קיים שוויון בין הנקודה לגבולותיה

בפונקציה רציפה, תוצאות הפונקציה בכל נקודה שווה לגבולותיה, למעט כאשר x = ∞ או ∞- (יוסבר בהמשך). לאור זאת מספיק לדעת תוצאה של גבול אחד כדי לדעת את התוצאה בנקודה.

 

בנקודה מפוצלת – הנקודה בפיצול אינה שווה ל- 2 גבולותיה

לנקודה בפיצול נקרא: נקודת הפיצול.
בפונקציה מפוצלת הנקודה בפיצול "בורחת" מאחד הגבולות או משניהם.

 

דוגמאות (בליווי התרשימים)

  1. בתרשים הבא נקודת הפיצול היא 0=x.הגבול השמאלי שלה (1…..0.0000-) הוא אי שם מתחת לציר ה-X-ים בתחתיות מערכת הצירים והגבול הימני (1…..0.0000) הוא אי שם מעל לציר ה-X-ים. כל 3 הנקודות אינן שוות.
    תרשים B
     פונקציה רציפה ופונקציה מפוצלת
  2. בתרשים הבא נקודת הפיצול היא בערך 5 = x. הגבול השמאלי שלה שווה ל- 2 והגבול הימני ל- 4.
    הנקודה (תוצאת הפונקציה) בערך 5 = x היא 4, שווה לגבול הימני ורחוקה מאוד מהגבול השמאלי. במילים אחרות: 3 הנקודות אינן שוות.
    תרשים C
    פונקצייה קופצת
  3. בתרשים הבא ישנה נקודת פיצול כאשר 6 = x. הנקודה בערך זה היא 10.
    רחוקה מ- 2 הגבולות שלה שהם באזור ה- 3.
    גם כאן 3 הנקודות אינן שוות.
    תרשים D
    פונקציית הקו הישר

רציפות של פונקציה במבחן מתמטי

כדי שהפונקציה תהיה רציפה בנקודה מסויימת, צריכות להתקיים בה 3 תכונות:

  1. תוצאת הפונקציה צריכה להיות מוגדרת בנקודה. הפונקציה בתרשים B נכשלת בתכונה זו.
  2. לפונקציה צריכים להיות גבולות שווים בנקודה. הפונקציה בתרשים C נכשלת בתכונה זו. הגבול השמאלי הוא 2 והימני 4.
  3. הגבולות צריכים להשתוות לנקודה. הפונקציה בתרשים D נכשלת בתכונה זו. הגבולות שווים ל- 3 (בערך) והנקודה שווה ל- 10.

למעשה, אפשר לומר במילים פשוטות שאם הנקודה ו- 2 גבולותיה אינם שווים, אזי הפונקציה אינה רציפה באותה נקודה.

הערה המתייחסת לניסוחים
אנו מתנסחים בקיצור בצורה הבאה: 3 הנקודות שוות (או אינן שוות).
הניסוח המדוייק והמלא צריך להיות: השוני בין תוצאת הפונקציה בערך x ובין תוצאת הפונקציה בערכים הסמוכים לו משני צידיו (`[x-A]` ו- `[x+A]`) זניח (או אינו זניח).

הניסוח והסימול המתמטי לגבולות
בפונקציה מפוצלת כאשר הפיצול מתרחש לדוגמה בערך 5=x, מסמלים את הגבול הימני ב- (5+) ואת הגבול השמאלי ב- (5-).
דוגמאות לניסוח וסימול פונקציות בערכים: x=∞ ו- x=5 (נקודת פיצול):

ניסוח

סימול

מקרא

הגבול (של הפונקציה), כאשר:
x שואף ל- ∞

`lim_(x->oo)f(x)` 

Lim      גבול. קיצור של Limit

         שואף

∞→x    x שואף ל- ∞

הגבולות של הפונקציה כאשר:
x שואף ל- 5 מימין

`lim_(x->5^+)f(x)`

+5x   x שואף ל- 5 מימין

x שואף ל – 5 משמאל

`lim_(x->5^-)f(x)` 

-5x x   שואף ל- 5 משמאל

  

גבולות – הקדמה557גבולות – הקדמה