מתמטיקה א' - לכלכלנים

דוגמה מהתחום הכלכלי למציאת נקודת קיצון

במפעל "המכונית" מייצרים רק מודל אחד של מכוניות.

הייצור מתבצע באמצעות עובדים (בעלי אותו כושר ייצור) ומכונות (מאותו סוג).

מחירי השוק הם כדלקמן:

שכר עובד לשנה -                 12,000 ש"ח.

עלות תפעול מכונה לשנה -      8,000 ש"ח.

מחיר מכונית-                      48,000 ש"ח.

x – מסמל את כמות העובדים במפעל.
y – מסמל את כמות המכונות במפעל.

במפעל הופתעו לגלות שניתן לחזות את היקף הייצור השנתי (כמות המכוניות המיוצרות), על פי פונקציה שהם כינו: פונקציית הייצור, שצורתה וסימוליה הם:

         `f(x,y) = sqrt(x) +sqrt(y)`

פונקציית הייצור הזו היא ייחודית למפעל המכונית.

כלכלן המפעל התבקש למצוא באיזה הרכב של עובדים ומכונות הרווח הוא מקסימלי.

 

מהלכי הפיתרון

א. בניית פונקציית הרווח

  1. את התשובה הכלכלן יוכל לקבל באמצעות פונקציית הרווח שנסמלה ` pi (x,y)` , שאותה עליו לבנות. הבנייה פשוטה       `f(x,y) = sqrt(x) +sqrt(y)`
  2. פונקציית הרווח מתקבלת כהפרש בין 2 פונקציות משנה:
    פונקציית הפדיון שנסמלה   `R(x,y) `   ופונקציית ההוצאות שנסמלה `C(x,y)` .
    דהיינו:     `pi (x,y) = R(x,y)-C(x,y)` .
  3. פונקציית הפדיון מתקבלת כמכפלה של פונקציית הייצור במחיר למכונית.
                         פונקציית הייצור
    מרכיביה הם: `R(x,y)=48000 * [sqrt(x) +sqrt(y)] `
  4. פונקציית ההוצאות מתבססת על מחירי השוק של עבודה ותפעול מכונות.
    מרכיביה הם: `C(x,y)=12000x+8000y]`
  5. מרכיבי פונקציית הרווח עפ"י סעיפים 3 ו- 4 לעיל הם:       
     פוקנציית ההוצאות                          פונקציית ייצור
    `pi(x,y)=48000*[sqrt(x)+sqrt(y)]-[12000x+8000y]`

 

חיפוש נקודת קיצון

  1. נגזור את פונקציית הרווח, פעם לפי x ופעם לפי y. לשם כך נכתוב את פונקציות הרווח
    `pi(x,y)=48000*x^((1)/(2))+48000*y^((1)/(2))-12000x+8000y`
    `pix(x,y) =(1)/(2)*48000*x^((-(1)/(2)))-12000 = (48,000)/(2sqrt(x)) -12000 `  (נגזרת לפי x)
    `piy(x,y) = (1)/(2)*48000*y^((-(1)/(2))) - 8,000 = (48,000)/(2sqrt(y)) - 8,000`  (נגזרת לפי y)
    מפתרון המשוואות (בשיטות אלגבריות) מתקבל כי מצאנו בנקודת הציון (4,9) שתי הנגזרות משתוות ל-0 (נקודת הציון מייצגת הרכב של 4 פועלים ו 9 מכונות).
    בשלב זה נקודת הציון (4,9) חשודה כנקודת קיצון.
  2. נוודא אם אכן היא נקודת קיצון. נבדוק אם תנאי 2 מתקיים:
    תנאי 2 הוא:   `f_(xxx)(x,y)*f_(yy) (x,y) - [f_(xy( (x,y))) ]^2 >0` 
    לשם כך נחשב את תוצאות 3 הנגזרות השניות המתייחסות לתנאי 2, בנקודה (4,9):
    ` pi_(xxx) = 24,000* (-(1)/(2)) * x^(-(3)/(2)) = -(12,000)/((sqrt(x))^3)`
    ` `pi_(yy) = 24,000*(-(1)/(2))*y^(-(3)/(2)) =(-12,000)/(sqrt(y))^3` `

`pi_xy= 0`   (גזירת הנגזרת הראשונה, לפי X, של פונקציית הרווח לפי משתנה Y ולהיפך)

התוצאות מוצגות בטבלה הבאה.

סימול הנגזרת

צורת הנגזרת

התוצאה בנקודת ציון (4,9)

פרשנות

‚2

3

„4

`pi_(xxx) (x,y)`

`(-12,000)/((sqrt(x))^3`

` ``(-12,000)/((sqrt(4))^3) = -1,500` ` `

התוצאה אינה מושפעת מ- y.
נקבל אותה תוצאה בכל רצועת רוחב

` pi_(yy) (x,y)`

`(-12,000)/((sqrt(y))^3`

`(-12,000)/((sqrt(9))^3 )= -444.44`

התוצאה אינה מושפעת מ- x.
נקבל אותה תוצאה בכל רצועת אורך.

`pi_(xy) (x,y)`

`=0`

`=0`

התוצאה אינה מושפעת מ- x ו- y

 

תנאי 2 מתקיים:  `(-1500)*(-444.44)-0^2 gt 0`

 

והמסקנה

הנקודה (4,9), המייצגת סל שמכיל 4 עובדים ו- 9 מכונות, היא אכן נקודת קיצון.

כמו כן, מכיוון ש-` f_(xxx) (4,9) = -1500<0` מדובר בנקודת מקסימום.

 

 

נתוני הפעילות של הפירמה בנקודת הקיצון (4,9) מפורטים בטבלה הבאה


נתוני הפעילות של הפירמה

הפעילות

התוצאה

דרך החישוב

1

כמות המכוניות

5

`[sqrt(4)+sqrt(9)]`

2

סך הפדיון

240,000 ש"ח

`[48,000*5=]`

3

סך ההוצאות

120,000 ש"ח

`[12,000*4+8,000*9=]`

4

סך הרווח

120,000 ש"ח

`[240,000-120,000=]`

 

דוגמה מהתחום הכלכלי למציאת נקודת קיצון563דוגמה מהתחום הכלכלי למציאת נקודת קיצון