הקדמה
אמנם הקדמנו וטענו שהוכחת חוקי הגזירה די מיותרת לכלכלנים, אך עם זאת מצאנו לנכון להמחיש את דרך החשיבה המתמטית בהקשר של חוקי הגזירה.
כדוגמה נתייחס לפונקציה `f(x)=x^2` .
חישוב שיפוע הפונקציה בערך x כלשהו
נרצה לחשב את השיפוע בנקודה B.
הנקודה היא `(X_B , X^2_B)`. הנקודה A קרובה ל-B וערכיה הם `(X_A , X^2_A)`.
ההסבר מלווה בתרשים בהמשך.
סימולים
הערך `X_A` הוא הערך הנושק ל- `X_B` מימין או משמאל.
הנקודה A היא תוצאת הפונקציה בערך `X_A` . כלומר `X^2_A` .
הנקודה B היא תוצאת הפונקציה בערך . כלומר `X^2_B` .
`Deltay` מוגדר כ- `[f(X_A),f(X_B)]` . כלומר `[X^2_A,X^2_B]` .
`Deltax` מוגדר כ-`[X_A-X_B]` .
השבר `(Deltay)/(Deltax)` כאשר `X_A=>X_B` מייצג את שיפוע הפונקציה בנקודה B
(במילים: כאשר `X_A` שואף ל-`X_B` ונקודה A מתלכדת עם נקודה B).
נציב במקום `Deltay` , את הביטוי `[X^2_A-X^2_B]` ובמקום `Deltax` את הביטוי `[X_A-X_B]` ונקבל את משוואה 1.
משוואה 1: `[(X^2_A-X^2_B)/(X_A-X_B)]=(Deltay)/(Deltax)`
נתייחס לאיבר בסוגריים במשוואה 1: כאשר `X_A=>X_B` `X_A` מתלכד עם `X_B` והנקודה A מתלכדת עם B.
אם בעקבות ההתלכדות נציב `X_B` במקום `X_A` , נקבל 0 במונה ו-0 במכנה, ותוצאת השבר היא 0 `[0/0=]` , שמשמעותה: השיפוע בכל נקודה על העקום הוא 0. אנו כמובן יודעים שזה לא נכון.
התחכום
המתמטיקאים מפרקים את המונה ל- 2 מכפלות:
`(X_A-X_B)(X_A+X_B)=[X^2_A-X^2_B]` ומתקבלת משוואה 2.
משוואה 2: `((X_A-X_B)(X_A+X_B))/(X_A-X_B)=(Deltay)/(Deltax)`
אם נציב עכשיו `X_B` במקום `X_A` נקבל `2X_B` .
יוצא אפוא שכאשר `f(x)=x^2`
הנגזרת היא: `f'(x)=2x`
תחכומים דומים משמשים בהוכחת שאר חוקי הגזירה.
