מתמטיקה א' - לכלכלנים

הוכחת חוקי הגזירה

הקדמה

אמנם הקדמנו וטענו שהוכחת חוקי הגזירה די מיותרת לכלכלנים, אך עם זאת מצאנו לנכון להמחיש את דרך החשיבה המתמטית בהקשר של חוקי הגזירה.

כדוגמה נתייחס לפונקציה  `f(x)=x^2` .

 

חישוב שיפוע הפונקציה בערך x כלשהו

נרצה לחשב את השיפוע בנקודה B.

הנקודה היא `(X_B , X^2_B)`. הנקודה A קרובה ל-B וערכיה הם `(X_A , X^2_A)`

ההסבר מלווה בתרשים בהמשך.

 

סימולים

הערך `X_A` הוא הערך הנושק ל- `X_B` מימין או משמאל.

הנקודה A היא תוצאת הפונקציה בערך  `X_A` . כלומר  `X^2_A` .

הנקודה B היא תוצאת הפונקציה בערך . כלומר `X^2_B` .

`Deltay` מוגדר כ- `[f(X_A),f(X_B)]`  . כלומר  `[X^2_A,X^2_B]` .

`Deltax` מוגדר כ-`[X_A-X_B]` .

השבר `(Deltay)/(Deltax)` כאשר `X_A=>X_B`  מייצג את שיפוע הפונקציה בנקודה B

(במילים: כאשר `X_A`  שואף ל-`X_B`  ונקודה A מתלכדת עם נקודה B).

נציב במקום `Deltay` , את הביטוי `[X^2_A-X^2_B]`  ובמקום `Deltax` את הביטוי  `[X_A-X_B]`   ונקבל את משוואה 1.

משוואה 1:  `[(X^2_A-X^2_B)/(X_A-X_B)]=(Deltay)/(Deltax)`

נתייחס לאיבר בסוגריים במשוואה 1: כאשר `X_A=>X_B` `X_A` מתלכד עם `X_B`  והנקודה A מתלכדת עם B.

אם בעקבות ההתלכדות נציב `X_B`  במקום `X_A` , נקבל 0 במונה ו-0 במכנה, ותוצאת השבר היא 0 `[0/0=]` , שמשמעותה: השיפוע בכל נקודה על העקום הוא 0. אנו כמובן יודעים שזה לא נכון.

nauutv 1

 

התחכום

המתמטיקאים מפרקים את המונה ל- 2 מכפלות:

 `(X_A-X_B)(X_A+X_B)=[X^2_A-X^2_B]`  ומתקבלת משוואה 2.

משוואה 2:    `((X_A-X_B)(X_A+X_B))/(X_A-X_B)=(Deltay)/(Deltax)`

אם נציב עכשיו `X_B`  במקום `X_A`  נקבל `2X_B` .

יוצא אפוא שכאשר  `f(x)=x^2`

הנגזרת היא:    `f'(x)=2x`

 

תחכומים דומים משמשים בהוכחת שאר חוקי הגזירה.

 

הוכחת חוקי הגזירה591הוכחת חוקי הגזירה