מתמטיקה א' - לכלכלנים

המאפיינים המעניינים בקשר שבין תוואי הפונקציה לתוואי הנגזרות

תת-פרק זה נועד לחדד את ההסברים בתת-הפרק שקדם לו.

כשהפונקציה עולה הנגזרת הראשונה חיובית  
(קטע I בתרשים 3.5 וקטע I' בתרשים 3.6).                                  
כאשר הפונקציה עולה (שיפוע חיובי) תוואי הנגזרת (הראשונה) עובר מעל ציר ה-x (מעל ה- 0).
קטע I' בתרשים 3.6 מתייחס לקטע I בפונקציה שהוא קטע עולה.
בתרשים 3.6 הצגת התוואי היא סכמטית בלבד.
היא נועדה רק לציין שתוואי הנגזרת עובר מעל ציר ה-x. לשיפוע הקו או לכל צורה אחרת שלו אין כל משמעות.

תרשים 3.5 – תוואי הפונקציה                       תרשים 3.6 – תוואי הנגזרת הראשונה

תוואי הפונקציה תוואי הנגזרת הראשונה

כשהפונקציה יורדת הנגזרת הראשונה שלילית
(קטע II בתרשים 3.5 וקטע II' בתרשים 3.6).                    
כאשר הפונקציה יורדת (שיפוע שלילי) תוואי הנגזרת עובר מתחת לציר ה-x (מתחת ה- 0).
קטע II' בתרשים 3.6 מתייחס לקטע II בפונקציה, שהוא קטע יורד.
קטע II' הוא סכמטי. הוא נועד רק לציין שתוואי הנגזרת עובר מתחת לציר ה-x.

כשהפונקציה בשיפוע 0 הנגזרת חותכת את ציר ה- x

כאשר שיפוע הפונקציה 0 (=נקודת קיצון), הנגזרת שווה ל- 0 והמשמעות היא שתוואי הפונקציה חותך את ציר ה- x.
כאשר קטע I' הוא מעל ציר ה- x וקטע II' מתחתיו, נקודת הקיצון היא: מקסימום.
כאשר קטע I' הוא מתחת ציר ה- x וקטע II' מעליו, נקודת הקיצון היא: מינימום.

 

השלכות מתוצאות הנגזרת על תוואי הפונקציה

  1. כשהנגזרת חיובית אנו יודעים שהפונקציה עולה, אך לא מעבר לכך. אנו לא יודעים את צורתה המדוייקת. היא יכולה להיות קעורה, קמורה או לינארית.
  2. כשהנגזרת שלילית אנו יודעים שהפונקציה יורדת, אך לא מעבר לכך. אנו לא יודעים את צורתה המדוייקת.
  3. כשהנגזרת שווה ל-0 אנו יודעים שהפונקציה עשויה להיות בנקודת קיצון. כדי לוודא אם זו נקודת מקסימום או מינימום עלינו למצוא את תוואי הנגזרת משני צידיה.

 

ההשלכות של תזוזת הפונקציה במישור הצירים, על תוואי הנגזרת

(תרשימים 3.7, 3.8, 3.9 ו-3.10)

תזוזה אנכית של הפונקציה (תרשימים 3.7 ו- 3.8)

תרשימים 3.7 ו- 3.8 מבוססים על תרשימים 3.5 ו- 3.6.

תזוזה אנכית של הפונקציה ממיקומה במועד א', הן כלפי מעלה והן כלפי מטה, כפי שמוצג בתרשים 3.7, לא משנה את התוואי הסכמטי של הנגזרת (הקווים המקווקוים בתרשים 3.7 מייצגים את מיקום תוואי הפונקציה בתזוזות האנכיות).

תרשים 3.7 – תזוזה אנכית של הפונקציה                                 

תזוזה אנכית של הפונקציה      

 תרשים 3.8 – תוואי הנגזרת

תוואי הנגזרת

 

תזוזה אופקית של הפונקציה (תרשימים 3.9 ו- 3.10)

תרשימים 3.9 ו- 3.10 מבוססים על תרשימים 3.7 ו- 3.8.

תזוזה אופקית של הפונקציה, ימינה או שמאלה, גורמת במקביל לתזוזה באותו כיוון של התוואי הסכמטי של הנגזרת.

תרשים 3.9 – תזוזה אופקית של הפונקציה  תזוזה אופקית של הפונקציה

 

 

תרשים 3.10 – תזוזת הנגזרת 

 

 


הקשר בין תוואי הפונקציה לתוואי הנגזרת השנייה

    תרשים 3.11 – תוואי הפונקציה               תרשים 3.12 – תוואי סכמטי של הנגזרת השנייה

תוואי הפונקציה      תוואי סכמטי של הנגזרת השנייה

כאשר הפונקציה קמורה, הנגזרת השנייה חיובית (והתוואי שלה מעל לציר ה- x).
כאשר הפונקציה קעורה, הנגזרת השנייה שלילית (התוואי שלה מתחת ציר ה- x).
בנקודת הפיתול, הנגזרת השנייה שווה ל- 0.
שיפוע הפונקציה, חיובי או שלילי, לא משפיע על מיקום תוואי הנגזרת השנייה ביחס לציר ה- x (מעליו או מתחתיו).
מיקום תוואי הנגזרת השנייה ביחס לציר ה- x, מושפע רק מצורת הפונקציה, קעורה או קמורה.

בתרשים 3.11:                                                                                                      
קטע I מתחיל בשיפוע חיובי ומסתיים בשיפוע שלילי, אך תווי הנגזרת השנייה המתייחס אליו נמצא מתחת ל- 0 לכל אורכו.
קטע II מתחיל בשיפוע שלילי ועובר לשיפוע חיובי, אך תוואי הנגזרת השנייה המתייחס אליו נמצא מעל ה- 0 לכל אורכו.

 

דוגמה
תרשים 3.13 מציג את תוואי הנגזרת השנייה של פונקציה כלשהי.
התוואי מחולק ל- 4 קטעים (בין פיתול לפיתול מפרידה נקודה).
על גבי כל קטע ציינו בסוגריים את מאפייני הפונקציה המקורית באותם קטעים וביניהם.

 

תרשים 3.13 – תוואי הנגזרת השנייה

תוואי הנגזרת השנייה

המאפיינים המעניינים בקשר שבין תוואי הפונקציה לתוואי הנגזרות579המאפיינים המעניינים בקשר שבין תוואי הפונקציה לתוואי הנגזרות