מתמטיקה א' - לכלכלנים

חוקי הגזירה

רקע

בהסבר, נתייחס לפונקציות שבהם x הוא המשתנה ו-y התוצאה.
הסימול של הפונקציה הוא (f(x והסימול של הנגזרת (f '(x.
כזכור הנגזרת היא גם בעצמה פונקציה.

במסגרת הפרק נציג את חוקי הגזירה של 5 סוגי פונקציות:

  1. פונקציה שבה x הוא בחזקה כלשהי `f(x)=x^n`  n מייצג מספר כלשהו.
  2. פונקציה שבה x הוא בחזקה כלשהי בתוספת כופל `f(x)=k*x^m`  מסמל כופל.
  3. פונקציה המורכבת מחיבור של פונקציות משנה `f(x)=h(x)+g(x)`
  4. פונקציה המורכבת ממכפלה של פונקציות משנה `f(x)=h(x)*g(x)`
  5. פונקציה המורכבת ממנה של פונקציות משנה `f(x)=(h(x))/(g(x))`

 

1. פונקציה שבה x הוא בחזקה כלשהי

לדוגמה: `f(x)=x^3`

הנגזרת

לקבלת הנגזרת מתבצעים 2 שינויים בפונקציה המקורית:
החזקה הופכת להיות כופל של x; `3x^3larrx^3`
את החזקה מחליפה חזקה שקטנה מהמקורית בדרגה אחת 3x32
כך שהנגזרת בדוגמה שלנו: `f'(x)=3x^2` .

דוגמאות נוספות

 

דוגמה 1

דוגמה2

דוגמה 3

דוגמה 4

דוגמה 5
(כללית)

הפונקציה המקורית `f(x)`

`x^5`

`x^6`

`x^1`

`x^0`

`x^n`

הנגזרת `f'(x)`

`5x^4`

`6x^5`

`(1*x^0=)1`

`(0*)x^(-1=)0`

`n*x^(n-1`

פרשנות

 

 

הנגזרת של `x^1`  היא 1

הנגזרת של `x^0`  היא 0

 

 

מסקנות מדוגמה 4
הנגזרת של מספרa  כלשהו היא תמיד 0.
וההסבר: המכפלה של a ב-`x^0`  שווה ל- a, היות ו- `x^0=1` . כלומר `ax^0=a` .
לכן, הנגזרת של  `a*x^0`  שווה ל- 0 `(0*ax^(-1=0))` .

נגזרת של חזקות שליליות, שורשים וחזקות בשברים

באופן כללי: הנגזרות הן על בסיס אותו עקרון של חזקות רגילות. `(x^n)'=n*x^((n-1)`

דוגמה 1
הפונקציה: `f(x)=1/x^2`
הפתרון (ב- 2 מהלכים)
  1. הצגה שונה של הפונקציה:  `f(x)=x^(-2` .

  2. הנגזרת: `f'(x)=-2x^(-3`

דוגמה 2
הפונקציה: `f(x)=root(7)(x^2)`
הפתרון (ב-2 מהלכים)
  1. הצגה שונה של הפונקציה: `f(x)=(x^2)^(1/7)=x^(2/7)`
  2. הנגזרת: `f'(x)=2/7x^(-5/7)=2/7*1/(x^(5/7))`

2. פונקציה שבה x הוא בחזקה כלשהי בתוספת כופל

לדוגמה: `f(x)=6*x^3`

הנגזרת

גוזרים את הפונקציה כאילו אין כופל ואת התוצאה מכפילים בכופל.
התוצאה: `6*3x^2=18x^2`

 

דוגמה 1

דוגמה 2

דוגמה 3

דוגמה 4

דוגמה 5
(כללית)

הפונקציה המקורית `f(x)`

`3x^6`

`2x^8`

`6x^1`

`6x^0`

`kx^n`

הנגזרת `f'(x)`

`18x^5`

`16x^7`

6

0

`k*nx^(n-1`

 

3. פונקציה המורכבת מחיבור של פונקציות משנה

לדוגמה: `f(x)=g(x)+h(x)-l(x)`
הסימן לפני הפונקציה יכול להיות גם חיובי וגם שלילי, לדוגמה: `f(x)=g(x)+h(x)+l(x)`

 

הנגזרת
הנגזרת היא סכום הנגזרות של פונקציות המשנה, בהתייחס לסימן המתלווה לכל פונקציית משנה.
לדוגמה:                                               
`f(x)=2x^8+4x^7-3x^6-2x^1`                     

4. פונקציה המורכבת ממכפלה של 2 פונקציות משנה

לדוגמה:  `f(x)=g(x)*h(x)`
`g(x)` - פונקציה א'
`h(x)` - פונקציה ב'

 

הנגזרת
הנגזרת מתקבלת כסכום של 2 איברים:
איבר 1: `g'(x)*h(x)` (נגזרת של פונקציה א', כפול פונקציה ב').
איבר 2: `g(x)*h'(x)` (פונקציה א', כפול נגזרת של פונקציה ב').
והתוצאה הסופית:  `f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)`

 

דוגמה

הפונקציה: `f(x)=x^5*6x^3` .
הנגזרת: `f'(x)=5x^4*6x^3+x^5*18x^2` .
 

5. פונקציה המורכבת ממנה של 2 פונקציות משנה

לדוגמה: `f(x)=(g(x))/(h(x))`

 

הנגזרת

צורת הנגזרת היא גם מנה של 2 פונקציות.
  • המונה: המונה שווה לנגזרת שמתקבלת ממכפלת 2 הפונקציות, כלומר: `f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)`
  • המכנה: המכנה הוא המכנה של הפונקציה `(h(x))` בריבוע, כלומר `[h(x)]^2`  
    והתוצאה הסופית:  `f'(x)=(g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x))/[h(x)]^2`

 

דוגמה
הפונקציה: `f(x)=(6x^3)/(2x^5)`
הנגזרת: `f'(x)=(18x^2*2x^5+6x^3*10x^4)/(2x^5)^2`

נגזרת של `e^x`
הנגזרת של `e^x`  היא `e^x` , כלומר אין שינוי.

 

נגזרת של `ln(x)`
הנגזרת היא `1/x` .

 

קצת לידע כללי
e הינו קבוע מתמטי שערכו 2.71828 ≈ e  (בקירוב) ומשמש כבסיס הלוגריתם הטבעי ln.

 

תזכורת מתמטית

חזקות

חזקה היא מהצורה `X^n`  , כאשר X מבטא את בסיס החזקה ו-n את מעריך החזקה.
במקרה של `X^n`  – מכפילים את X בעצמו n פעמים.  לדוגמה:= Xž·X·žX=X3

 

חזקות שליליות

כל איבר בחזקה שלילית שווה ל- 1 חלקי אותו איבר בחזקה חיובית.
לדוגמה:
`1/x^2=x^-2`
`1/x^7=x^-7`
`1/x^(3/4)=x^-(3/4)`

 

שורש m

הביטוי: `[root(m)(x)]` מכונה: שורש m של x.
הביטוי: `[root(6)(x+2)]` מכונה: שורש שישי של (2+x).
הביטוי: `[root(4)((x+2))^2]` מכונה: שורש רביעי של 2(2+x).
לביטוי בתוך השורש נקרא, לצורך ההסבר: נתון (הנתון יכול להיות מכל צורה שהיא).
הערה: כשמתייחסים לשורש 2 של נתון כלשהו, למשל `[root(2)(x)]` , מקובל להשמיט את הספרה 2 מעל השורש וצורת הביטוי היא `sqrt(x)` .

 

 

הצגה חלופית של שורש m

שורש m של נתון כלשהו למשל `root(m)(x)`  שווה לנתון בחזקת שבר, שהמונה שלו 1 והמכנה m. כלומר `x^(1/m)=root(m)(x)` .
הניסוח המילולי של השיוויון הוא: שורש m של x שווה ל- x בחזקת `1/m` .
ניתן כמובן לעבור משורשים לחזקות ולהיפך, בהתאם לצורך.
דוגמאות
  1. `(x)^(1/6)=root(6)(x)`
  2. `root(4)(x)=(x)^(2/8)=(x^2)^(1/8)=root(8)(x^2)`

 

חוקי החזקות

  1. חזקה של [נתון בחזקה]. למשל `(5^3)^2`  (5 הוא הנתון).
    התוצאה  `5^6=5^(2*3)` (כופלים את החזקות).
    דוגמאות נוספות:
    `x^18=(x^3)^6`
    `x^1=(x^(1/2))^2`

    `x^(1/4)=(x^(1/8))^2`

  2. נתון בחזקה כפול אותו נתון בחזקה. למשל x^2·x^3
    התוצאה )x^5=x^(2+3 (חיבור 2 החזקות)
    דוגמאות נוספות:
    `2^9=2^6*2^3`
    `x^2.5=x^(1/2)*x^2`
    `x^(-3)=x^3*x^-6`

 

תרגול. מלא את המשבצות הריקות בטבלה.

הצגה כשורש

הצגה חלופית כחזקה

(מלא בעצמך במקומות הריקים)

הביטוי המילולי

`=sqrt(x)`

`x^(1/2`  

1. שורש שני של x

2. x בחזקת חצי

`root(3)(x)`

 

1. שורש שלישי של x

2. x בחזקת `(1)/(3)`

`root(8)(x)`

 

1. שורש שמיני של x

2. x בחזקת`(1)/(8)`

`=root(2)(x^3)`

`x^(2/3)=(x^3)^(1/2`   

1. שורש שני של x בשלישית

2. x בחזקת 1.5

`=root(4)(x^5)`

`=(x^5)^(1/4)`   

1. שורש רביעי של x בחמישית

2. x בחזקת `(5)/(4)`

`=root(4)(x^-5)`

`1/x^(5/4)=x^(-5/4)=(x^-5)^(1/4`  

1. שורש רביעי של x בחזקת מינוס 5

2. 1 חלקי x בחזקת `(5)/(4)`

`=root(2/3)(x^6)` 

`x^9=(x^6)^(3/2`

1. שורש שני שליש של x בחזקת 6

2. x בחזקת 9

`=root(1/2)(x^4)` 

`x^8=(x^4)^2`

1. שורש חצי של x בחזקת 4

2.x  בחזקת 8

`=root(1/3)(x^-12)` 

`1/x^36=x^-36=(x^-12)^3`    

1. שורש שליש של x בחזקת מינוס 12

2. 1 חלקי x בחזקת 36

`=root(1/3)((x+6)^3)` 

`(x+6)^9=[(x+6)^3]^3`

1. שורש שליש של: x + 6 בסוגריים בשלישית

2. 6+x בחזקת 9

`=root(1/3)((x+6)^3)` 

`(x+6)^9=[(x+6)^-3]^3`

1. שורש שליש של 6+x בסוגריים בחזקת מינוס 3

2. 1 חלקי (6+x) בחזקת 9

 

פונקציה מורכבת

נתחיל בדוגמה של פונקציה מורכבת שצורתה: `f(x)=(3x^2+8x+9)^3` .
אנו מתייחסים לביטוי בתוך הסוגריים כפונקציית משנה, המשתלבת בתוך הפונקציה העיקרית.
את פונקציית המשנה נסמל g(x) ובקיצור g.

צורת פונקציית המשנה וסימולה:  `g=3x^2+8x+9`

נציב בפונקציה העיקרית את הסימול g במקום פונקציית המשנה ונקבל `[g]^3`.
אך היות ו- g הוא גם משתנה בעצמו, אזי כאשר מציבים את g במקום פונקציית המשנה, הפונקציה העיקרית במתכונת החדשה הופכת להיות פונקציה של g שצורתה וסימולה 
הוא: `f(x)=[g]^3`

 

פרשנות

g משמש ב- 2 תפקידים:

  1. הוא מהווה את הסימול של פונקצייה המשנה `[g=3x^2+8x+9]` .
  2. הוא בעצמו משתנה ולפיכך סימול הפונקציה שבה הוא מהווה משתנה, וצורתה, הם: `f(g)=[g]3`

 

הבחנה בין 3 פונקציות

  1. הפונקציה העיקרית `f(x)=(3x^2+8x+9)^3` .
  2. פונקציית המשנה  `g=3x^2+8x+9`
  3. הפונקציה ש- g הוא משתנה בה `f(g)=[g]3`

 

 

טכניקת הגזירה של הפונקציה העיקרית (f(x

הגזירה מבוצעת ב- 3 מהלכים:

מהלך 1   גוזרים את (f(g והתוצאה: `f'(g)=3[g]^2`

מהלך 2   גוזרים את פונקציית המשנה והתוצאה: `g'=6x+8`

מהלך 3   כופלים את התוצאות של 2 המהלכים, כשתוך כדי מציבים במקום g את פונקציית המשנה. התוצאה היא הנגזרת של (f(x.    

מהלך 1  `larr``(3x^2+8x+9)^2`
מהלך 2  `larr`   
`(6x+8)`

`f'(x) = 3(3x^2+8x+9)^2*(6x+8)`

 

דוגמאות

דוגמה 1

נתונה הפונקציה `f(x)=e^(5x^2)` . חשב את (f'(x.

 

פתרון

  1. התארגנות
    נתייחס לביטוי `(5x^2)`  כפונקציית משנה ונסמלה ב- g. ומכאן: `f(g)=e^((g))` .
  2. מהלכי הפתרון
    נגזור את f(g) ונקבל `f'(g)=e^((g))`.
    נגזור את g ונקבל  g'=10x.
    נכפיל את 2 התוצאות ונציב את פונקציית המשנה במקום g.
    התוצאה:  `f'(x)=e^(5x^2)*10x`
חוקי הגזירה559חוקי הגזירה