מתמטיקה א' - לכלכלנים

חקירת הגבולות בפונקציה רציפה ובפונקציה מפוצלת

נבחין בין חקירת הגבולות בפונקציה רציפה ובפונקציה מפוצלת.

בפונקציה רציפה אנו מתעניינים רק בגבול אחד.

הגבול שלפני `x=oo` והגבול שלפני `x=(oo-)` .
אין משמעות לגבול שאחרי הנקודה, היא כבר מעבר ל-`oo` .

בפונקציה מפוצלת אנו מתעניינים ב-2 הגבולות: זה שלפני נקודת הפיצול וזה שאחריה.

 

הטכניקה של חישוב הגבול

  1. אנו מציבים בפונקציה את ערך ה- x שבו הפונקציה לא מוגדרת. תתקבל תוצאה כלשהי שתכלול לפחות אחד מהביטויים: `oo` , `(-oo)` , 0 . 
    לדוגמה תתקבלנה התוצאות הבאות:  `[a/0^+]` , `[0/-oo]`,  `[oo*oo]`  ,   (ה-a מייצג מספר חיובי)
  2. המתמטיקאים פיתחו שורת הנחיות לחישוב הגבול או הגבולות בהתאם לתוצאות שתתקבלנה.
  3. הנחיות המתמטיקאים מרוכזות ב- 3 טבלאות להלן, הממוספרות 1, 2, ו- 3:

בטבלאות הבאות a מייצג מספר חיובי כלשהו.

טבלה #1

 

תוצאת הפונקציה

הגבול

 

1

2

שורה 1

 `[(-oo)/-a]` , `[oo/a]` , `[-a/0^-]` , `[a/0^+]`  

שורה 2

`[(-oo)/-a]`,`[(-oo)/-a]`,`[-a/0^+]`,`[a/0^-]`

∞-

שורה 3

`[a/(-oo)]` , `[(-a)/oo]` , `[a/oo]` `[(-a)/(-oo)]`

` `

0

 

טבלה #2

 

תוצאת הפונקציה

הגבול

 

1

2

שורה 1

`[(-oo)/0^-]`, `[oo/0^+] `, `[(-oo)*(-oo)]` , `[oo*oo]` , `[oo+oo]` , `[oo^(oo)]` , `[oo^(a)]`

שורה 2

`[(oo)/0^-]` , `[(-oo)/0^+] ` , `[(-oo)*(-oo)]` , `[(-oo)*oo]` , 

∞-

שורה 3

`[oo^(oo)]` , `[oo^(-a)]` , `[0/-oo]` , `[0/oo]`

0

 

טבלה #3

 

תוצאת הפונקציה

הגבול

 

1

2

שורה 1

`[oo-oo]` , `[(oo)/oo]` , `[0/0]` , `[oo^(0)]` , `[1^(oo)]`

דרוש מהלך מקדים

 

הסבר לטבלאות 1 ו- 2

כל טבלה מכילה 3 שורות ו- 2 טורים. טור 1, תוצאת הפונקציה. טור 2, הגבול.
הגבול של כל התוצאות המפורטות בשורה 1, הוא `oo` .
הגבול של כל התוצאות המפורטות בשורה 2, הוא `(oo-)` .
הגבול של כל התוצאות המפורטות בשורה 3, הוא 0.

 

הסבר לטבלה 3

הטבלה מכילה שורה בת 5 תוצאות.
כאשר התוצאה המתקבלת היא זו המפורטת בטבלה 3, אין אפשרות מיידית לדעת מהו הגבול.
אנו נדרשים למהלך מקדים שבו אנו משנים את פני הפונקציה, ורק לאחריו מציבים את הערך של x ומחשבים את הגבולות.

 

דוגמאות המתייחסות לטבלה 3

דוגמה 1 - `lim_(x->oo)(x^2-x)`   

אם נציב `x=oo`, נקבל: `(lim_(x->oo)(x^2-x)=)[oo-oo]`

`larr[oo-oo]`  אחת מהתוצאות בטבלה 3

 

שינוי פני הפונקציה

אם לפני ההצבה של `x=oo`, נפרק את הפונקציה לגורמים, נוכל לפתור בקלות:

עפ"י טבלה 2 פירוק לגורמים
`lim_(x->oo)(x^2-x)=lim_(x->oo)x(x-1)=[oo*oo]=oo`

דוגמה 2 - `lim_(x->oo)(x^2-1)/(x+1)`       

אם נציב `x=oo`, נקבל: `lim_(x->oo)(x^2-1)/(x+1)=[oo/oo]`

 

שינוי פני הפונקציה

אם לפני ההצבה נחלק מונה ומכנה ב- x, נוכל לפתור בקלות:

`lim_(x->oo)(x^2-1)/(x+1)=lim_(x->oo)(x-1/x)/(1+1/x)=[(oo-0)/(1+0)]=[oo/1]=oo`

ניתן לפתור גם ע"י פירוק לגורמים וצמצום:

`lim_(x->oo)(x^2-1)/(x+1)=lim_(x->oo)((x+1)(x-1))/(x+1)=lim_(x->oo)(x-1)=oo`

 

דוגמה 3 - `lim_(x->oo)(5x^3+2x^2-1)/(x^4+5)`  

אם נציב `x=oo`, נקבל: `lim_(x->oo)(5x^3+2x^2-1)/(x^4+5)=[oo/oo]`

 

שינוי פני הפונקציה

אם לפני ההצבה נצמצם ב-`x^3` , נוכל לפתור בקלות:

`lim_(x->oo)(5x^3+2x^2-1)/(x^4+5)=lim_(x->oo)(5+2/x-1/x^3)/(x+5/x^3)=[(5+0-0)/(oo+0)]=[5/oo]=0`

דוגמה 4 - `lim_(x->1)(x^2+2x-3)/(2x^2-2)` (פונקציה מפוצלת)

אם נציב `1=x` , נקבל: `lim_(x->1)(x^2+2x-3)/(2x^2-2)=[0/0]` 


שינוי פני הפונקציה

אם לפני ההצבה נפרק לגורמים ונצמצם, נוכל לפתור בקלות:

`lim_(x->1)(x^2+2x-3)/(2x^2-2)=lim_(x->1)(x-1)(x=3)/2(x^2-1)=lim_(x->1)(x-1)(x+3)/2(x+1)(x-1)=lim_(x->1)(x+3)/2(x+1)=4/4=1` 

חקירת הגבולות בפונקציה רציפה ובפונקציה מפוצלת562חקירת הגבולות בפונקציה רציפה ובפונקציה מפוצלת