מתמטיקה א' - לכלכלנים

כלל לופיטל

המתמטיקאי הדגול לופיטל מצא כלל פשוט לחישוב הגבול של פונקציה המורכבת ממנה של 2 פונקציות `[f(x)=g(x)/(h(x))]` והוא כדלקמן:
כאשר לאחר ההצבה של ערך ה- x בנקודת הפיצול, התוצאה המתקבלת היא: `[oo/oo]` או `[0/0]` (תוצאות הכלולות בטבלה 3), אפשר לגזור את המונה בנפרד ואת המכנה בנפרד ולהציב את ערך ה- x בנקודת הפיצול, כלומר:

כאשר   `f(x)=g(x)/(h(x)`,

אזי       `limg(x)/(h(x))=lim(g'(x))/(h'(x)`.

אם לאחר פעולת הגזירה התוצאה המתקבלת היא עדיין `[oo/oo]` או `[0/0]`, ממשיכים לגזור שוב ושוב את המונה בנפרד ואת המכנה בנפרד, עד שמתקבלת תוצאה רצויה, כלומר תוצאה סופית כלשהי, או אחת מהתוצאות המפורטות בטבלאות 1 ו-2.

 

סימול כלל לופיטל

כאשר מפעילים את כלל לופיטל, מקובל לכתוב את האות L מתחת לסימן השיוויון שלפני המילה Lim.

`limg(x)/(h(x))=lim(g'(x))/(h'(x)`

 

דוגמה 5 (זהה לדוגמה 3 מהדף הקודם) 

`lim_(x->oo)(5x^3+2x^2-1)/(x^4+5)`

כאשר מציבים `x=oo` מקבלים `[oo/oo]`. לאור זאת אפשר להשתמש בכלל לופיטל.

ההצגה המתמטית במלואה תיראה כך:

`-gt` וגוזרים שוב `-gt` גוזרים שוב `-gt` גוזרים `-gt`
`lim_(Lquadx->oo)30/(24x)=30/oo=0` `=lim_(Lquadx->oo)(30x+4)/(12x^2)=[oo/oo]`  `=lim_(Lquadx->oo)(15x^2+4x)/(4x^3)=[oo/oo]` `lim_(x->oo)(5x^3+2x^2-1)/(x^4+5)=[oo/oo]`

כלומר:  `lim_(x->oo)(5x^3+2x^2-1)/(x^4+5)=0`

דוגמה 6 (זהה לדוגמה 4 מעמוד קודם)   

`lim_(x->1)(x^2+2x-3)/(2x^2-2)=[0/0]=lim_(Lquadx->1)(2x+2)/(4x)=4/4=1` 

קיבלנו את אותה התוצאה שהתקבלה בדוגמה 4.

 

המגבלות בכלל לופיטל

כאשר התוצאה המתקבלת בסוף היא `oo` או `(-oo)` , הגבול שגוי ועלינו לחשב את הגבול בדרכים אחרות, כגון שינוי פני הפונקציה.

הסבר מדוע 5 התוצאות המתקבלות בטבלה 3 אינן מוגדרות

  1. `[oo-oo]` אינו בהכרח 0
    וההסבר: כאשר אנו מדברים על אינסוף () אזי מתכוונים למידה שגודלה הוא מעבר ליכולת הדמיון שלנו.
    מבחינתנו, אינסוף יכול להתבטא ב:
    1 שנת אור = , וגם ב-100 שנות אור =
    אבל הפער ביניהם הוא 99 שנות אור שמבטא עבורנו גם אינסוף (). 
    לפיכך [-] יכול להיות  בעצמו.
  2. `[oo/oo]`  אינו בהכרח 1
    מאותן סיבות ש-[-] אינו 0. ה- שבמונה יכול להיות פי  מה- שבמכנה.
  3. `[0/0]`  אינו בהכרח 1
    וההסבר: ה-0 במונה וה-0 במכנה מייצגים גבולות של פונקציות משנה וייתכן שכל אחד מהן הוא טיפה יותר מ-0 או טיפה פחות מ-0. אם ה-0 של המונה הוא טיפה גדול מ-0 אזי תוצאת השבר היא .
  4. `oo^0`  אינו בהכרח 1
    וההסבר: הן-0 והן ה- הם גבול של פונקציות משנה וייתכן שה-0 הוא טיפה גדול או טיפה קטן מ-0. 
    אם הוא טיפה גדול מ-0 אז (0+) יכול להיות גם . 
  5. `1^oo`  אינו בהכרח 1
    וההסבר: ה-1 הוא גבול ויכול להיות טיפה גדול או טיפה קטן מ-1. 
    אם הוא טיפה גדול מ-1 אזי (+1) יכול להיות גם  .
כלל לופיטל525כלל לופיטל