מתמטיקה א' - לכלכלנים

מפה טופוגרפית

רקע

מפה טופוגרפית מיועדת להמחיש צורה של מעטפת תלת מימדית (המונחת) על גבי מישור (דף נייר).
לדוגמה המחשת הר שכיפתו מתנשאת לגובה של 600 מטר ובסיסו בגובה פני הים (= 0 מטר).

טכניקת הכנת מפה טופוגרפית

ההר שנמחיש הוא סימטרי מכל צדדיו ומונח על מישור בגובה פני הים.
נתחיל מהנקודה הגבוהה ביותר (אפשר להתחיל מכל נקודה שהיא):

  1. אנו צובעים את כל המקומות שגובהם 600 מטר. ישנה רק נקודה אחת כזאת – כיפת ההר.
    אנו יורדים 100 מטר וצובעים את כל המקומות בהר שגובהם 500 מטר. במהלך הצביעה נבצע הקפה של ההר.
    אנו יורדים בעוד 100 מטר וצובעים את כל המקומות בהר שגובהם 400 מטר. במהלך הצביעה, נבצע הקפה של ההר. ההקפה בגובה 400 מטר תהיה ארוכה יותר מזו של 500 מטר.
    כך נמשיך לרדת ובמרווחים של 100 מטר נצבע את כל הנקודות במעטפת ההר.
    ככל שנרד בגובה, קו הצבע שמקיף את ההר יילך ויתארך.

 

קו גובה

לקו הצבע שמתקבל בגובה מסויים נקרא: קו גובה ונסמן לידו את הגובה שאליו הוא מתייחס. 

התבוננות מלמעלה על קווי הגובה

אם נתבונן מלמעלה (ממעוף הציפור) על קווי הגובה, נראה את הצורה המוצגת בתרשים הבא.

ככל שההר תלול יותר קווי הגובה יהיו צפופים יותר. כאשר קיים מצוק בין הגבהים 300 ו-400 מטר, קווי הגובה של 300 ו-400 יתלכדו.

התבוננות מלמעלה על קווי הגובה


המחשה של הר לא סימטרי

בתרשים הבא מוצגים קווי הגובה של הר לא סימטרי שגובהו 600 מטר.

המחשה של הר לא סימטרי

 

קווי גובה בעמקים

קווי גובה ניתן לשרטט גם כאשר הצורה היא עמק, בין אם הוא נמצא מעל פני הים או מתחתיו.

התרשים הבא מציג עמק שנמצא מעל פני הים.

קווי הגובה עולים מתחתית העמק כלפי מעלה.

 קווי גובה בעמקים

 

התרשים הבא מציג עמק שתחתיתו מתחת לפני הים.
עמק שתחתיתו מתחת לפני הים

 

 

מפה טופוגרפית

למפה שמציגה את פני השטח באמצעות קווי גובה קוראים מפה טופוגרפית.

 

קביעת מרווח הגובה בין קווי הגובה

קביעת מרווחי הגובה בין קווי הגובה נתונה לשיקול דעתנו. הם יכולים להיות כל 100 מטר, כל 1 מטר או כל 10 ס"מ.
ההחלטה מושפעת מצורת המעטפת והמטרות שלנו.
ככל שהמרווחים יותר קטנים, מתווספים יותר קווי גובה וההמחשה יותר מדוייקת, אך מנגד צפיפות קווי הגובה יכולה לפגום בראיית התמונה הכללית של השטח.

מטפסי הרים מעוניינים במפה מדוייקת עם מרווחים קטנים ביותר. מטיילים שהולכים לצד ההרים והגאיות מעדיפים מפות טופוגרפיות פחות מדוייקות.

 

תוספת צירים x ו- y למפה טופוגרפית

התרשים הבא מבוסס על תרשים ההר הסימטרי שהוספנו לו צירים של x ו- .y

התרשים מציג את קווי הגובה במבט מלמעלה.
הערכים על הצירים מייצגים יחידות אורך כלשהן.
מידת האורך יכולה להיות ס"מ, מטר, ק"מ וכד', בהתאם לנסיבות. בתרשים מידת האורך היא מטר. 
ב- 2 הצירים יחידת האורך זהה ומומלץ גם שהמרווחים בין השנתות ב- 2 הצירים יהיו שווים.

תוספת צירים x ו-y למפה טופוגרפית

 

מדידת שיפועים בעזרת הצירים
בתרשים צלע ההר בין הגבהים 300 ו- 200 מטר משורטטת כקו המסומל a.
שיפוע הצלע מתקבל מהיחס שבין:
    1) הפרש הגבהים בין קצוות הצלעות (100- מטר) (פער בסימן מינוס).
  ל:
    2) המרחק האופקי בין הקצוות, כפי שנמדד על ציר ה- x (100 מטר).

מדידת שיפועים בעזרת הצירים 

שיפוע היתר שווה [SIGN] .

ככל שהמרחק האופקי בין הקצוות (המכנה) מתקצר, השיפוע יותר תלול.

 

מבט מלפנים על קווי הגובה של ההר (צירים x ו-z)

התרשים הבא מציג את קווי הגובה במבט מלפנים.

  1. קווי הגובה הולכים ומתארכים ככל שגובהם יורד.
  2. הגובה המצוין על כל קו גובה, זהה כמובן לגובה על ציר ה- z.

 מבט מלפנים על קווי הגובה של ההר (צירים x ו-z)

קווי גובה של מעטפת קטועה (חצי הר)

1. התרשים הבא מציג מ- 2 נקודות מבט את קווי הגובה של מעטפת המתייחסת לחצי הר. חלק ההר שאינו מוצג בתרשים קרס.

                   מבט מלפנים                                        מבט מלמעלה

קווי גובה של מעטפת קטועה - מבט מלפנים  קווי גובה של מעטפת קטועה - מבט מלמעלה 

2. התרשים הבא מציג מ- 2 נקודות מבט את קווי הגובה של מעטפת שצורתה חצי גליל שעומד על מישור הצירים.

                   מבט מלפנים                                      מבט מלמעלה

 חצי גליל מבט מלפנים    חצי גליל מבט מלמעלה
                                                                        קו הגובה העליון מסתיר את כל השאר

 

 

קווי גובה של פונקציה (לדוגמה f(x,y)=y+2x)

כל הנקודות על המעטפת שהן בעלות אותה תוצאה, נמצאות על אותו קו גובה.

למשל, כל הנקודות שתוצאתן 10:  10 = (x,y)f.

 

תוואי קו גובה 10 במבט מלמעלה

התרשים הבא מציג את תוואי קו גובה 10. 
למעשה התוואי מתקבל מהנוסחה x2 – 10 = y, שמייצגת קו ישר שנסמלו (1).

מאפייני הקו
חיתוך עם ציר y: 10.
שיפוע: 2-.

תוצאת הפונקציה מעל כל נקודה על קו (1) היא 10.
תוואי קו גובה 10 במבט מלמעלה

 

קו גובה 10 במבט מלפנים

התרשים הבא מציג את קו גובה 10 במבט מלפנים.

קו גובה 10 במבט מלפנים

מפה טופוגרפית574מפה טופוגרפית