מתמטיקה א' - לכלכלנים

מציאת נקודות קיצון תחת אילוץ

מציאת נקודות קיצון תחת אילוץ בליווי דוגמה

ישנם מקרים רבים, בעיקר בפונקציות המתייחסות למגזר העסקי, שנקודת הקיצון נמצאת בערכים של x ו- y שאינם בהישג ידה של הפירמה, או במילים אחרות חלק מערכי המשתנים אינם רלוונטים.

הדוגמה הבאה תמחיש זאת.

 

דוגמה 1

יזם הקים מפעל קומקומים. הייצור מתבצע באמצעות פועלים ומכונות.

היזם גילה שהוא יכול לצפות את היקף הייצור החודשי באמצעות פונקציית ייצור שסימולה ומרכיביה הם:

פונקציית הייצור החודשי:

כאשר: 
`x` מסמל את מספר הפועלים
`y` מסמל את מספר המכונות

`P` (קיצור של Production) – מסמל את מס' הקומקומים

מחירי השוק הם כדלקמן:

שכר עבודה:       4,000 ש"ח לחודש

תפעול מכונה:    1,000 ש"ח לחודש

מחיר קומקום:  100 ש"ח

 

כלכלן המפעל התבקש למצוא באיזה הֶרְכֵּב ייצור (של פועלים ומכונות) אמור להתקבל הרווח המקסימלי, תחת האילוץ שתקציב ההוצאות יעמוד על 40,000 ש"ח לחודש.  לצורך הפשטות, אנו מניחים שהוצאות המפעל כוללות רק עבודה ותפעול מכונות.

 

סל גורמי ייצור

לכל הרכב כלשהו של עובדים ומכונות נקרא סל גורמי ייצור או בקיצור סל. במסגרת האילוץ (בדוגמה) עלות הסל עומדת על 40,000 ש"ח.

 

האילוץ – הרחבה

האילוץ מתבטא בכך שלא כל סלי הייצור האפשריים רלוונטים, אלא רק הסלים שעלותם k40 ש"ח.

 

הצגת האילוץ כפונקציה במישור הצירים

את הדרישה שעלות הסל תעמוד על 40,000 ש"ח , ניתן להציג באמצעות שוויון 1.

שוויון 1 - `40,000=4,000x+1,000y`  .

רק סלים המקיימים את שוויון 1 רלוונטים.

אם נחלק את שוויון 1 ב- 1,000 ונבודד את y, נקבל את שוויון 2

שוויון 2 -  `y=40-4x` .

שוויון 2 מייצג פונקציה של קו ישר.

בתרשים הבא משורטטת הפונקציה.

מאפייניה:

  1. חותכת את ציר ה- y ב- 40.
  2. שיפועה: 4.

עלות כל הסלים לאורך תוואי הפונקציה הוא בדיוק 40,000 ש"ח.

למשל, סל A שווה 40,000 ש"ח (כאשר `40,000 =40*1,000` ), בדיוק כמו סל B (`10*4000` ) וסל C (`16*1000+6*4000` ).

עלות כל סל מתחת לתוואי הפונקציה קטנה מ- 40,000 ש"ח.

עלות כל סל מעל לתוואי הפונקציה גדולה מ- 40,000 ש"ח.

לקו הפונקציה מקובל לקרוא: קו מגבלת התקציב, ובקיצור: קו התקציב.

ולפונקציה שמניבה אותו: פונקציית מגבלת התקציב, ובקיצור: פונקציית התקציב.

תרשים 5.26

פונקציית מגבלת התקציב

 

אפשרות למצוא את הרווח המקסימלי גם באמצעות פונקציית הייצור P(x,y)

היות והנחנו שהוצאות המפעל יעמדו על 40,000 ש"ח, אזי המפעל ימקסם את רווחיו במקום שפונקציית הייצור תגיע למקסימום.

במילים אחרות, סל גורמי הייצור שמניב את התפוקה המקסימלית ועומד במסגרת התקציב, מניב גם את הרווח המקסימלי.

לאור זאת אנו נחפש בהמשך את נקודת הקיצון המקסימלית בפונקציית הייצור.

 

מציאת הרווח המקסימלי – הקדמה

אם נציב בפונקציית הייצור את נקודות הציון שלאורך קו התקציב, נקבל רצועה (שמהווה חלק מפונקציית הייצור).

הנקודה הגבוהה ביותר ברצועה היא נקודת הקיצון המקסימלי.

 

הצבת נקודות הציון של קו התקציב בפונקציית הייצור

להזכירכם, באופן כללי כל נקודת ציון מתייחסת לצמד נתונים, אחד של x ואחד של y. בכל נקודות הציון שנמצאות על קו התקציב, ניתן להציג את הערך של y באמצעות `[40-4x]` , היות ו-` y=40-4x` . כלומר, לכל y יש חלופה בערכים של x שהיא `[40-4x]` .

כשנציב בפונקציית הייצור במקום y את החלופה `[40-4x]` , נקבל:

`P(x,y) = 20xy = 20x[40-4x] = 800x-80x^2`

הפונקציה שקיבלנו מייצגת את הרצועה מעל קו מגבלת התקציב.

היות וזו רק פונקציה של x, הסימול` P(x,y)` משתנה ל- `P(x)` .

 

מפונקציית הייצור נותרת רצועה

בעקבות האילוץ, מפונקציית הייצור (המרחבית) נותרת רק רצועה (פונקציה שטוחה) שממוקמת מעל קו מגבלת התקציב.

 

שינוי בסימול ובמרכיבי פונקציית הייצור, בעקבות הפיכתה לרצועה

למעשה פונקציית הייצור הופכת להיות רק פונקציה של x ולפיכך סימולה ומרכיביה משתנים ל: `P(x)=20x[((y),(40-4x))]` .

הן הסימול והן ההרכב מבטאים את העובדה שמדובר בפונקציה "שטוחה".

 

צורת הרצועה מעל קו התקציב

התרשים הבא מציג את הרצועה משתי נקודות מבט: 

  1. מלמעלה  
  2. מלפנים (מציר x).

(שימו לב לסימולי הצירים בכל נקודת מבט).

 

   מבט למעלה                                                 מבט מלפנים (מציר ה x)

צורת הרצועה מעל קו התקציב - מבט מלמעלה     צורת הרצועה מעל קו התקציב - מבט מלפנים

מבט מלמעלה
במבט מלמעלה הרצועה מתלכדת עם קו התקציב. אמנם הרצועה היא קשתית אך ממבט מלמעלה היא נראית קו ישר.   

מבט מלפנים
במבט מלפנים אנו רואים רצועת רוחב קשתית שממוקמת מעל ציר ה x, למרות שהיא רצועה אלכסונית הממוקמת לאורך קו התקציב. ואכן, אנו מתייחסים אליה כאילו היא מוצבת מעל ציר ה- x (רצועת רוחב 0) וגוזרים אותה בהתאם.

 

מציאת נקודת קיצון מוחלט מקסימלי ברצועה
(מומלץ להתבונן על צורת הרצועה במבט מלפנים במהלך ההסבר)

תזכורת

כבר למדנו שנקודת קיצון ברצועה כלשהי יכולה להימצא רק בשני מקומות:

  1. קצוות הרצועה – באחת מהקצוות או בשתיהן.
  2. במקום שהנגזרת שווה 0 ובתנאי שזו נקודת קיצון ולא נקודת פיתול.

 

טכניקת הבדיקה

נבדוק באיזה ערך של x הרצועה שמעל קו התקציב מגיעה למקסימום.

  1. בדיקת התוצאה בקצוות הרצועה
    צורת פונקציית הייצור היא `P(x)=800x-80x^2` .
    כאשר נציב בה `x = 0` התוצאה: 0 קומקומים = `(x)P` .
    כאשר נציב בה `x = 10` התוצאה: 0 קומקומים = (`x)P` .
  2. בדיקת התוצאה לאורך הרצועה
    נבדוק בעזרת הנגזרת הראשונה אם קיימת נקודה על הרצועה שבה השיפוע 0.
    ואם קיימת, נחשב לגביה את תוצאת הפונקציה.
    הנגזרת היא: `P'(x)=800-160x` .
    הנגזרת שווה 0 כאשר: `5=x` .
    תוצאת הפונקציה כאשר `5=x` היא 2000 קומקומים: `P(5)=800*5-80*5^2=2000` .
    נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה אם זו נקודת קיצון או נקודת פיתול.
    הנגזרת השנייה היא: `P''(x)=-160` .
    כלומר, השיפועים לאורך הרצועה הולכים וקטנים. והמשמעות, הרצועה מייצגת עקום קעור והנקודה שהתקבלה היא נקודת קיצון מקסימלית.

 

תוצאות הבדיקה

1. קצה שמאלי (כאשר` x=0` ) תוצאת הפונקציה היא: 0 קומקומים.

2. קצה ימני   (כאשר `x=10` ) תוצאת הפונקציה היא: 0 קומקומים.

3. חישוב תוצאת הפונקציה בערך ה- x שבו הנגזרת שווה ל- 0:

הפונקציה היא: `P(x)=800x-80x^2`

הנגזרת היא:`P'(x)=800-160x`

הנגזרת משתווה ל 0 כאשר `x=5 [800-160x=0]`

תוצאת הפונקציה כאשר `x=5` היא 2000 קומקומים `(800*5-80*5^2=2000)` .

בערך `x=5` תוצאת הפונקציה יותר גבוהה מזו שבקצוות.

4. נבדוק שזו נקודת קיצון ולא נקודת פיתול – תוצאת הנגזרת השנייה היא `160- [P''(x)=-160]`  כלומר התלילות לאורך כל הפונקציה המקורית הולכת וקטנה באותו קצב, כך שזו נקודת קיצון מקסימום.

 

מסקנה

פונקציית הייצור מגיעה למקסימום (2000 קומקומים) כאשר המפעל מעסיק 5 עובדים.

מציאת מספר המכונות בנקודת המקסימום

את מספר המכונות אנו מחשבים מתוך משוואת קו התקציב (כשמציבים בה 5 במקום x).

משוואת קו התקציב:                     `y=40-4x nbsp nbsp nbsp`          

כשמציבים בה `5 = x` מקבלים:       20 מכונות `(20=40-20)`

 

מסקנה

המפעל ממקסם רווחים כאשר הוא מעסיק 5 פועלים ו-20 מכונות . 
בתרחיש זה נתוני הפעילות הם כדלקמן:

כמות הקומקומים המיוצרת בחודש:         2000     יחידות

הפדיון:                                                           200,000   ש"ח

הרווח:                                                            160,000   ש"ח

 

 

דוגמה 2 – מפעל הקומקומים שנה אחרי

בתֹם שנה, פונקציית הייצור של מפעל הקומקומים השתפרה והפכה להיות: `P(x,y)=40x+100y`  (`P` – מספר הקומקומים שיוצרו).

שאר נתוני השוק (שכר, עלות תפעול מכונה ומחיר קומקום) לא השתנו.

האילוץ של עמידה במסגרת תקציב ההוצאות של 40,000 ש"ח עדיין בתוקף.

לפיכך משוואת התקציב וקו התקציב לא השתנו.

נחשב את תוצאות פונקציית הייצור מעל קו התקציב תוך שימוש בערכי x בלבד. לשם כך נציב בפונקציית הייצור במקום y, את החלופה שלו `[40-4x]` ונקבל:

`P(x)=40x+100*((y),(40-4x))`
`=40x+4000-400x`
`=4000-360x`

הפונקציה שקיבלנו היא פונקציית הרצועה מעל קו התקציב.

מאפייניה: קו ישר. שיפוע שלילי.

 

צורת הרצועה מעל קו התקציב משתי נקודות מבט

התרשים הבא מציג את הרצועה משתי נקודות מבט:       

  1. מלמעלה      
  2. מלפנים

מבט מלמעלה                                                 מבט מלפנים (מציר ה x)

צורת הרצועה - מבט מלמעלה   צורת הרצועה - מבט מלפנים

 

מציאת נקודת קיצון ברצועה
(במהלך ההסבר התבוננו על צורת הרצועה בתרשים הקודם, במבט מלפנים)

 

תוצאות הפונקציה בקצוות הרצועה

קצה שמאלי (כאשר `x=0` ) תוצאת הפונקציה היא 4000 קומקומים.

קצה ימני   (כאשר` x=10` ) תוצאת הפונקציה היא 400 קומקומים.

 

חישוב תוצאת הפונקציה בערך ה- x שבו הנגזרת משתווה ל- 0

צורת הפונקציה: `f(x)=4000-360x`

צורת הנגזרת:  `f'(x)=-360`

משמעות הנגזרת היא שהשיפוע בכל נקודה על הרצועה הוא 360- (=קו ישר). כלומר אין לאורך הרצועה נקודת קיצון.

 

מסקנה

המפעל ממקסם את רווחיו כאשר `x=0` , דהיינו כאשר הוא לא מעסיק פועלים, אלא רק 40 מכונות.

בנקודת הקיצון בתרחיש זה נתוני הפעילות הם כדלקמן:

כמות הקומקומים המיוצרת:          4,000  יחידות             (לעומת 2,000 בשנה קודמת)

הפדיון:                                               400,000  ש"ח             (לעומת 200,000 בשנה קודמת)

הרווח:                                                360,000  ש"ח             (לעומת 160,000 בשנה קודמת)

 

אילו המפעל היה מעסיק רק פועלים (10 פועלים ו 0 מכונות) אזי, נתוני הפעילות היו כדלקמן:

כמות הקומקומים המיוצרת:          400     יחידות            ` (P(10)=4000-360*10=)`

הפדיון:                                               40,000    ש"ח             (`= 400*100` ש"ח)

הרווח:                                                0             ש"ח             (תקציב הוצאות = 40,000 ש"ח)

 

 

דוגמה 3

אנו מחפשים נקודת קיצון לפונקציה `f(x,y)=x*žy` .

תחת האילוץ שהפונקציה רלוונטית רק כאשר ערכי x זהים לערכי y, או אם תרצו, רק בנקודות ציון שבהן `x=y` .

בתרשים הבא הקו האלכסוני (1), ששיפועו 1, מציג את כל הצמדים במישור הצירים x,y המקיימים את האילוץ. הפונקציה הרלוונטית היא הרצועה שמעל הקו (1).

אם נציב בפונקציה, במקום y, את החלופה שלו בערכים של x, שהיא `[x]` , הפונקציה תיהפך לפונקציה של x בלבד, שסימולה וצורתה `f(x)=x^2` .

תוצאותיה יוצרות רצועה מעל קו (1) במישור הצירים.

   

התרשים הבא מציג את הרצועה משתי נקודות מבט.

 

              מבט למעלה                                          מבט מלפנים (מציר ה x)

תרשים א' נקודת מבט    תרשים ב' נקודת מבט

 

מבט מלפנים

הפונקציה בצורת פרבולה שתחתיתה בנקודה (0,0).

כשמסתכלים על הרצועה מלפנים נראה כאילו שהרצועה היא רצועת רוחב 0 (מעל ציר ה- x), אך למעשה הרצועה נמצאות מעל הקו האלכסוני (1) `[y=x]` .

לדוגמה:

  • הנקודה A' על הרצועה, נמצאת מעל נקודה A (נקודת ציון (3,3)) במישור הצירים (ראה מבט מלמעלה).
  • הנקודה B' על הרצועה, נמצאת מעל נקודה B (נקודת ציון (1-,1-)) במישור הצירים (ראה מבט מלמעלה).

מבט מלמעלה

הפונקציה מתלכדת עם הקו `y=x` (קו A).

 

מציאת נקודת קיצון

  1. לפונקציה אין נקודות התחלה וסוף, היא יורדת ממרומי השמיים כאשר`x =-oo`  ,

נוגעת במישור הצירים כאשר x= 0 ונוסקת חזרה למרומי השמיים כאשר `x = oo` .

נמצא אם והיכן הנגזרת שלה משתווה ל- 0.
הפונקציה היא `f(x,y) =xy` , ולאחר ההצבה x=y היא הופכת ל- `f(x)=x^2` .

הנגזרת היא: `f'(x)=2x`

הנגזרת משתווה ל 0 כאשר` x=0` .

נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה אם זו נקודת קיצון ואיזה? (מקסימום או מינימום).

 

התוצאה: `f''(x)=2` (עקום קמור, ששיפועיו הולכים וגדלים ב- 2).

והמסקנה: זו נקודת קיצון מינימלית.

נמצא את בן זוגו של `x=0` על קו (1). התוצאה: `0= y (y=x)` .

כלומר, הרצועה מגיעה למינימום מעל נקודת הציון (0,0) וגובה הפונקציה בנקודת הקיצון המינימלי, היא 0.

 

דוגמה 4

אנו מחפשים נקודת קיצון לפונקציה (המרחבית)  `f(x,y)=xy`  מהדוגמה הקודמת, אך תחת אילוץ שונה.

האילוץ הוא שהפונקציה המרחבית רלוונטית רק לערכי y שמקיימים את המשוואה `y=4-x` .

או במילים אחרות, הפונקציה רלוונטית רק כאשר בן הזוג של כל x הוא` [4-x]` .

בתרשים הבא, הקו האלכסוני (1) מציג את כל הצמדים המקיימים את האילוץ.

מאפייני קו (1) הם:דוגמא 4

  1. הוא חותך את ציר ה- y בנקודה 4.
  2. שיפועו 1-.

כפי שעשינו בפעמים הקודמות, נציב בפונקציה (המרחבית) במקום y את החלופה `[4-x]` .
הפונקציה (המרחבית) תצטמצם לרצועה מעל קו (1).

 

הרצועה היא פונקציה של x, שצורתה `f(x) = x(4-x) =4x-x^2` .

התרשים הבא מציג את הרצועה משתי נקודות מבט.

 

מבט על הרצועה משתי נקודות מבט

        מבט מלמעלה                                   מבט מלפנים

דוגמא 4 - מבט מלמעלה  דוגמא 4 - מבט מלפנים

 

מציאת נקודת קיצון

(במהלך ההסבר התבוננו על הרצועה במבט מלפנים)

  1. לפונקציה אין נקודת התחלה וסוף.
  2. נמצא אם והיכן הנגזרת שלה משתווה ל-0.
    הנגזרת היא: f'(x) = 4-2x
    הנגזרת משתווה ל-0 כאשר x=2.
  3. נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה אם זו נקודת קיצון ואיזה?
    התוצאה:f''(x)  -2  (עקום קעור, ששיפועיו הולכים וקטנים ב- 2).
    והמסקנה: נקודת קיצון מקסימלית.
    בערך `x=2` הפונקציה היא בנקודת קיצון מקסימלית.
    נמצא את בן זוגו של x=2 על קו (1) במרחב הצירים. התוצאה `y=4-2=2` .
    כלומר, הרצועה מגיעה למקסימום מעל נקודת ציון (2,2) (נקודה A בתרשים הקודם, במבט מלמעלה).
מציאת נקודות קיצון תחת אילוץ 583מציאת נקודות קיצון תחת אילוץ