מתמטיקה א' - לכלכלנים

נגזרת שנייה עם שני משתנים

הקדמה

הנגזרת הראשונה יוצרת לנו 2 פונקציות חדשות

פונקציה 1- הנגזרת הראשונה לפי x, שסימולה fx(x,y).

פונקציה 2- הנגזרת הראשונה לפי y, שסימולה fy(x,y) .

את כל אחת מ 2 הפונקציות הנ"ל ניתן לגזור שוב, פעם לפי x ופעם לפי y. כל גזירה (שניה) תניב 2 פונקציות חדשות כפי שמוצג בתרשים הבא.

תרשים פונקציות

פרשנות

  1. נגזרת ראשונה לפי x נוקבת בשיפועי המעטפת לאורך רצועות הרוחב השונות. נגזרת ראשונה לפי x ושנייה לפי x [fxx(x,y)], נותנת ביטוי למגמת השיפועים לאורך כל רצועת רוחב. האם הם הולכים ועולים, הולכים ויורדים, אחידים, או מתאפסים.
  2. נגזרת ראשונה לפי y נוקבת בשיפועי המעטפת לאורך רצועות האורך השונות. נגזרת ראשונה לפי y ושנייה לפי y [fyy(x,y)], נותנת ביטוי למגמת השיפועים לאורך כל רצועת אורך.
  3. נגזרת ראשונה לפי x ושנייה לפי y [fxy(x,y)] , נותנת ביטוי למגמת השיפועים של רצועות הרוחב לאורך קו אורך כלשהו. אם אנחנו מתעניינים בקו אורך 8, נציב בתוצאה x=8.
  4. נגזרת ראשונה לפי y ושנייה לפי x [fyx(x,y)] , נותנת ביטוי למגמת השיפועים של רצועות האורך לאורך קו רוחב כלשהו. אם אנחנו מתעניינים בקו רוחב 5, נציב בתוצאה y=5.

 

המחשה של הנגזרת השנייה fxy(x,y)

  1. תדמיינו שאנו נוקבים חורים מיקרוסקופיים במרכזם של 10 דוּקִים ומשחילים אותם על ציר מתכת קשיח (בקוטר מיקרוסקופי) וסוגרים את הציר מ- 2 צידיו. הדוקים ממוספרים מ- 1 עד 10. לערכה שקיבלנו נקרא ערכת דוקים ובקיצור ערכה.
  2. בעזרת מגנט נניח את הערכה בצורה אופקית במרחב בגובה 10 ס"מ מעל מישור הצירים, כשהציר חופף לקו אורך 12. תרשים 5.25 מציג את הערכה מ- 2 מבטים.
    תרשים 5.25 
               מבט מלפנים                                 מבט מלמעלה 
    תרשים 525 - מבט מלפנים  תרשים 525 - מבט מלמעלה
    במצב זה, השיפוע של כל הדוקים הוא 0 לכל אורכם.
  3. נטה את הציר כלפי מעלה בזווית של 45כשהנקודה a בקצהו התחתון נותרת במקום. במצב זה, השיפוע של כל הדוקים נותר 0 ואילו השיפוע של הציר הוא 1.
  4. נטה את צידו הימני של כל אחד מהדוקים כלפי מעלה בשיפועים שהולכים וגדלים מדוק 1 לדוק 10. הדוקים סבים על הציר כשצידם השמאלי יורד בהתאם. במצב זה, כל דוק הוא בשיפוע שונה והציר נותר בשיפוע 1.
  5. נניח שכל דוק מייצג רצועת רוחב והציר מייצג רצועת אורך. השיפוע של כל דוק ישתקף בנגזרת הראשונה שלו לפי x [fx(x,y)]. השיפוע של כל דוק שווה לכל אורכו (הוא קו ישר). מנגד השיפועים של הדוקים הולכים ועולים לאורך הציר שמהווה רצועת אורך 12הפער בשיפועים בין הדוקים לאורך רצועת אורך 12 ישתקף בנגזרת השנייה לפי y[fxy(x,y)] (כאשר x = 12).
    כאשר שיפועי רצועות הרוחב (דוקים) הולכים ועולים מאחת לשניה (מ- 1 עד 10), לאורך רצועת אורך כלשהי (הציר), הנגזרת השניה [fxy(x,y)] תהיה חיובית.
    כאשר שיפועי רצועות הרוחב הולכים ויורדים מאחת לשניה לאורך רצועת אורך כלשהי, הנגזרת השניה [fxy(x,y)] תהיה שלילית.
    כאשר השיפועים פעם הולכים ועולים ופעם הולכים ויורדים לאורך אותה רצועת אורך, תוצאות הנגזרת השנייה [fxy(x,y)] תשתנה מחיובי לשלילי בהתאם.
    בדוגמת הדוקים נקבל אותה תוצאה ביחס לכל ערך של x, כלומר לאורך כל קו אורך שנבחר.
    כאשר הפער בשיפוע בין דוק לדוק נשאר קבוע אז נקבל אותה תוצאה ביחס לכל ערך של x.
    וההסבר: שיפוע הדוקים אחיד לכל אורכם והפער בשיפוע מדוק לדוק נשאר קבוע.
  6. אם במקום ציר קשיח נשחיל ציר גמיש ונכופף אותו בצורת קשת, שיפועיו ישתנו מנקודה לנקודה לאורך הקשת, או אם תרצו לאורך רצועת אורך 12.
    מנגד, שיפועי הדוקים יישארו ללא שינוי כל עוד לא ניגע בהם, לפיכך לא יחול שינוי ב- fx(x,y)  וב- fxy(x,y)
  7. אם נשנה את שיפועי הדוקים יהיה שינוי ב- fx(x,y)  וגם ב- fxy(x,y).


ריכוז סימולי הנגזרת השנייה

ישנם 4 סימולים המתלווים לנגזרת שנייה, בפונקציות עם 2 משתנים, כפי שמוצגים בטבלה הבאה.

האות הראשונה מימין ל- f מציינת את הבסיס של הנגזרת הראשונה (נגזרת לפי x או נגזרת לפי y). האות השנייה מימין ל- f מציינת את הבסיס לנגזרת השנייה.

 

סימולי הנגזרת השנייה



‚

הסימול

המשמעות

(fxx(x,y

נגזרת ראשונה לפי x ונגזרת שנייה לפי x

(fxy(x,y

נגזרת ראשונה לפי x ונגזרת שנייה לפי y

(fyy(x,y

נגזרת ראשונה לפי y ונגזרת שנייה לפי y

(fyx(x,y

נגזרת ראשונה לפי y ונגזרת שנייה לפי x

נגזרת שנייה עם שני משתנים559 נגזרת שנייה עם שני משתנים