מתמטיקה א' - לכלכלנים

נגזרת – הקדמה

המתמטיקאים מצאו דרך להפיק מכל פונקציה (שנכנה אותה פונקציה מקורית), פונקציה נוספת שנקראת פונקציית הנגזרת או בקיצור: נגזרת, שבאמצעותה ניתן לחשב את השיפוע של משיק לפונקציה בכל נקודה על הפונקציה המקורית.
תוצאת הנגזרת בערך x כלשהו, נוקבת בשיפוע של הפונקציה באותו ערך של x.
לדוגמה, כאשר 2=x ותוצאת הנגזרת היא 3, אזי שיפוע הפונקציה באותו ערך של x הוא 3.
השם נגזרת בא לציין שהיא נגזרת מהפונקציה המקורית.

הנגזרת מבוססת על תחכום שאת עקרונותיו נסביר מיד.

 

סימולים

אם סימול הפונקציה המקורית הינו (f(x. סימול הנגזרת של הפונקציה יהיה  (f'(x (מוסיפים: ').

 

התחכום שעליו מבוססת נגזרת

רקע

השיפוע של הפונקציה בנקודה A כלשהי, מתקבלת משיפוע המשיק שלה שהוא קו ישר, אך כדי לחשב שיפוע של קו ישר, אנו צריכים מידע לגבי 2 נקודות ציון עליו. לצערנו המידע הידוע לנו מתייחס לנקודה A בלבד - היא נקודת ההשקה.

 

התחכום בליווי תרשים 3.1

  1. מעבירים קו ישר שפוגש ב- 2 נקודות על העקום. בנקודה A ובנקודה B, הקרובה לה מימין. נסמל את הקו הישר ב-(1).
  2. אנו מקרבים את נקודה B ל- A על גבי עקום הפונקציה, עד כדי מרחק אפסי ביניהם. כשהמרחק ביניהם אפסי, אנו מכנים זאת מצב של התלכדות (בנקודת ההתלכדות A ו- B צמודות). בנקודת ההתלכדות הקו (1) הופך למעשה להיות המשיק של נקודה A.
    בהתנסחות מתמטית אנו אומרים כך: אנו מחשבים את שיפוע הקו המחבר בין B ל- A, כאשר B שואף ל-A. ציון המהלך ש-B שואף ל-A מסומן: [A←B].
  3. פונקציית הנגזרת מחשבת לנו את השיפוע שמתקבל בכל נקודה על העקום.

בתרשים הבא מוצגות על גבי פונקציה כלשהי 2 נקודות: A ו- B.

נקודת הציון של A היא: [(x,f(x].
נקודת הציון של B היא: [(xA,f(xA].
(f(x היא תוצאת הפונקציה בערך x.
(f(xA היא תוצאת הפונקציה בערך xA.
שיפוע קו (1) המחבר בין 2 הנקודות הוא `(Deltay)/(Deltax)`  או `(f(x_A)-f(x))/(x_(A)-x)`.
כאשר `xlarrx_A`, נקודה B מתקרבת לנקודה A עד כדי התלכדות. 

תרשים 3.1

התחכום שעליו מבוססת נגזרת

ראוי לציין שערך הנגזרת בנקודה A אינו תלוי במיקום נקודה B, שכן גם אם נקודה B היתה נמצאת משמאל לנקודה A עדיין היינו מקבלים את אותו ערך המשיק בנקודה A.


הוכחת הנגזרת – מיותרת לכלכלנים

בשיעורי מתמטיקה למתמטיקאים ולפעמים גם בשיעורי מתמטיקה לכלכלנים, מסבירים כיצד מגיעים מהפונקציה המקורית לנגזרת. לדעתנו, ההסבר, שאינו מסובך במיוחד, מיותר לחלוטין עבור כלכלנים, שכן הוא לא תורם מאומה לעבודת הכלכלן.

כפי שנסביר בהמשך, ישנם כללים מנחים לחישוב נגזרת מהפונקציות המקוריות. לכללים המנחים נקרא: חוקי הגזירה והם יפורטו בהמשך.

כמו כן, כדי לצאת ידי חובה, נציג בהמשך גם את הוכחת הנגזרת לפונקציה המבוססת על חזקה שצורתה `f'(x)=x^n`   (n הוא פרמטר).

דרך ההוכחה של פונקציה בחזקה, דומה להוכחת שאר הנגזרות.

נגזרת – הקדמה544נגזרת – הקדמה