מתמטיקה א' - לכלכלנים

נקודות פיקנטיות בעקום - הגדרות

  1. נקודת מקסימום מוחלט– הנקודה הגבוהה ביותר בכל עקום.
  2. נקודת מינימום מוחלט – הנקודה הנמוכה ביותר בכל עקום.
  3. נקודת מקסימום מקומי – נקודה ששתי הנקודות הסמוכות לה משני צידיה, נמוכות ממנה.
  4. נקודות מינימום מקומי – נקודה ששתי הנקודות הסמוכות לה משני צידיה, גבוהות ממנה. כמובן שכל נקודת מקסימום מוחלט היא אוטומטית נקודת מקסימום מקומי וכך לגבי נקודת מינימום.
  5. נקודות פיתול – (שינוי כיוון)
  6. נקודות החיתוך של העקום עם ציר ה-X וציר ה-Y.
  7. התנהגות העקום כאשר 0 =x  (יורחב בהמשך).

התייחסות לנקודות פיקנטיות בפונקציה ובקטעים ממנה – חזרה והרחבה

נתייחס לכל הפונקציה ולקטעים ממנה באמצעות קו הפונקציה (=קו התוצאות) המייצג אותה. כלומר: 

כל הפונקציה – מיוצגת באמצעות קו הפונקציה בכל ערכי ה- x. 
מ- `x=-alpha`  עד  `x=alpha` `[alphaltxlt-alpha]`

קטע פונקציה – מיוצג באמצעות קו הפונקציה בתחום כלשהו של ערכי x.
לדוגמה בתחום שבין x=0 , ל- x=5. סימול: `0<=x<=5`  
נקודת מקסימום מוחלט – הנקודה הגבוהה ביותר בקטע כלשהו. הקטע יכול להתארך עד לכדי כל הפונקציה. 
באופן מעשי אנו נתייחס בעיקר לקטעים ולא לכל הפונקציה.
נקודת מקסימום מקומי – הנקודה הגבוהה ביותר באזור שלה.
נקודת מינימום מוחלט –   הנקודה הנמוכה ביותר בקטע כלשהו.
נקודות מינימום מקומי – הנקודה הנמוכה ביותר באזור שלה.
נקודות קיצון מוחלט – שם כולל לנקודות מקסימום ו/או מינימום מוחלטים.
נקודות קיצון מקומי – שם כולל לנקודות מקסימום ו/או מינימום מקומיים.

 

הערות

  1. כמובן שכל נקודת קיצון מוחלט מהווה באופן אוטומטי גם נקודת קיצון מקומי בתת-הקטע שבו היא ממוקמת.
  2. כאשר מתייחסים לכל הפונקציה, לא בכל פונקציה ישנן נקודות קיצון מוחלטות (מקסימליות ו/או מינימליות).

 

נקודות קיצון מוחלט ומקומי – דוגמאות

דוגמה 1         
הדוגמה מתייחסת לפונקציה `y=x^2-6x+8`  .
בתרשים הבא מוצג קטע מהפונקציה הנ"ל.
  1. בקטע המוצג, נקודה A מהווה גם נקודת מינימום מוחלט וגם נקודת מינימום מקומי. למעשה נקודה A מהווה גם נקודת מינימום מוחלט בכל הפונקציה.
  2. נקודת מקסימום מוחלט בכל הפונקציה. אילו היינו משרטטים את כל הפונקציה, לא היינו מוצאים בה נקודת מקסימום מוחלט. לצד כל נקודה שנבחר ישנה נקודה גבוהה ממנה.
  3. נקודת מקסימום מוחלט בקטע `0<=x<=4` .  אם נתייחס לקטע `0<=x<=4` , נגלה שקיימת נקודת מקסימום מוחלט שגובהה 8 (נקודה B). היא מתקבלת כאשר 0=x. בקטע זה אין נקודה גבוהה ממנה.

נקודות קיצון מוחלט ומקומי – דוגמאות 


דוגמה 2
מתייחסת לפונקציה  `y=x^3-4x`   .
בתרשים הבא מוצג קטע מהפונקציה הנ"ל.
הנקודה B היא נקודת מקסימום מקומי, אבל לא נקודת מקסימום מוחלט (הנקודה D למשל גבוהה ממנה).

 

התייחסות לתחום `-3<=x<=0` 
בתחום `-3<=x<=0` , נקודה B מהווה נקודת מקסימום מוחלט ונקודה A מהווה נקודת מינימום מוחלט.

 

התייחסות לתחום `0<=x<=2`   
מינימום מוחלט – נקודה C מהווה נקודת מינימום מוחלט.
מקסימום מוחלט – ישנן 2 נקודות מקסימום מוחלט שערך ה-y שלהן הוא 0: האחת כאשר  x=0 והשנייה כאשר x=2.

התייחסות לנקודות פיקנטיות בפונקציה ובקטעים ממנה

מסקנות

  1. ירידה ממעמד של "נקודות קיצון מוחלט" בדוגמאות שהצגנו עד כה ראינו שגם אם קיימת נקודת קיצון מוחלט בקטע מסויים, היא יכולה לרדת לדרגת "נקודת קיצון מקומי" כשמתייחסים לכל הפונקציה או לקטע יותר גדול.
  2. מיקום נקודות קיצון מוחלט בקטעי פונקציה הנקודות יכולות להימצא באחת מ- 2 האפשרויות הבאות:
  • בקצות הקטע.
  • בחפיפה עם אחת מנקודות הקיצון המקומיות בקטע.

עוד נשוב להתעמק בנקודות קיצון לאחד שנלמד מהי נגזרת וכיצד ניתן בעזרתה למצוא נקודות קיצון.

נקודות פיקנטיות בעקום - הגדרות576  נקודות פיקנטיות בעקום - הגדרות