מתמטיקה א' - לכלכלנים

פונקציה המיוצגת על ידי קוים שאינם ישרים

עקום

עקום הוא שם כולל לכל קו לרבות קו ישר.

אנו נעסוק בעקומים שמהווים קו תוצאות של נוסחה כלשהי.

 

משפחות של נוסחאות

כל הנוסחאות שצורתן `y=ax+b` , משתייכות למשפחת הקווים הישרים. תוצאות הנוסחה מניבות קו ישר.

כל הנוסחאות שצורתן  `y=ax^2+bx+c`  ( a=0), משתייכות למשפחת הפרבולות. תוצאות הנוסחה מניבות פרבולה.

כל הנוסחאות שצורתן `y=a/(bx+c)`, משתייכות למשפחת ההיפרבולות. תוצאות הנוסחה מניבות היפרבולה.

אנו לא נתעמק במשפחות הפרבולות וההיפרבולות, אך חשוב להזכירן.


שבט הפולינומים                                                                  

כל הנוסחאות שצורתן `y=ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+"..."+dx^1+ex^o`

משתייכת לשבט שנקרא שבט פולינומים.

אנו קוראים לנוסחאות בצורה זו שֵבֶט היות והן כוללות יותר ממשפחה אחת של נוסחאות.
נסביר בהמשך.

 

מאפייני הנוסחה

  1. הנוסחה מכילה מספר משתנה של איברים אך לא פחות מ- 2.
  2. בתחילת כל איבר יש פרמטר שיכול לקבל כל מספר.
  3. כל איבר כולל חזקה של x. החזקות  הולכות ופוחתות ב-1, החזקה הגבוהה ביותר היא באיבר הראשון והיא הולכת ויורדת ב-1 מאיבר לאיבר. החזקה באיבר האחרון היא 0 ובזו שלפניו 1. 
    היות ו- `1=x^0` , אזי האיבר האחרון `e=[e*x^0]` .
  4. שם הפולינום נגזר מהחזקה באיבר הראשון. כאשר הנוסחה היא: y=ax4+bx3+cx2+dx+ex0שם הפולינום הוא: פולינום מדרגה 4.
  5. מספר האיברים בכל פולינום הוא כמספר דרגתו + 1.

 

משפחות של עקומים הכלולים בשבט הפולינומים

משפחת הפרבולות – משפחת הפרבולות היא פולינום מדרגה 2.
משפחת הקווים הישרים- משפחת הקווים הישרים היא פולינום מדרגה 1.

 

משיק

כאשר קו ישר נוגע בעקום כלשהו, רק בנקודה אחת, אנו אומרים שהקו משיק לעקום באותה נקודה. נקודת המפגש מכונה נקודת ההשקה.

בתרשים הבא, קו (1) משיק לעקום (2) בנקודה A. לכל נקודה בעקום יכול להשיק רק קו ישר אחד.

משיק

 

שיפוע של עקום

השיפוע של עקום בנקודה כלשהי מוגדר כשיפועו של הקו שמשיק לאותה נקודה.

בתרשים הבא השיפוע של עקום (1) בנקודה A שווה לשיפועו של קו (2).

שיפוע של עקום

מיון העקומים ל- 3 סוגים

במתמטיקה מבחינים בין 3 סוגי עקומים:

  • קו ישר    
  • עקום קמור    
  • עקום קעור

העקומים שונים זה מזה במגמת השיפוע שלהם.

  1. קו ישר – השיפוע אינו משתנה לאורך כל הקו.
  2. עקום קמור – השיפוע הולך וגדל ככל שמתקדמים על ציר ה- x (משמאל לימין).
  3. עקום קעור – השיפוע הולך וקטן ככל שמתקדמים על ציר ה- x (משמאל לימין).

נרחיב.

 

בתרשים הבא:

העקום הימני בצורת הר – מכונה עקום קעור.

העקום השמאלי בצורת עמק – מכונה עקום קמור.

 מיון העקומים ל- 3 סוגים

 

פונקציה המיוצגת על ידי קוים שאינם ישרים540פונקציה המיוצגת על ידי קוים שאינם ישרים