מתמטיקה א' - לכלכלנים

פונקציה – הקשר בין נתון לתוצאה

כאשר תוצאה מושפעת מגודלו של נתון כלשהו, אזי אנו אומרים, באופן טבעי, שקיים קשר בין הנתון לתוצאה.

לדוגמה:

אברהמי קיבל הלוואה מהבנק בתנאים הבאים:
סכום הריבית יעמוד על 10% מסכום ההלוואה + 100 ש"ח.
סכום הריבית, שהוא התוצאה, מושפע מסכום ההלוואה שאברהמי ייקח, שהוא הנתון.

נרחיב.

הטבלה הבאה מציגה מה תהיה התוצאה (סכום הריבית שאברהמי ישלם), ב- 4 אפשרויות לגבי סכום ההלוואה:

 

סכום ההלוואה
(הנתון)

ש"ח

סכום הריבית
(התוצאה)

[10% מסך ההלוואה + 100 ש"ח]
ש"ח

אפשרות 1

10

101

אפשרות 2

100

110

אפשרות 3

1,000

200

אפשרות 4

2,000

300

בדוגמה זו סכום ההלוואה (הנתון) יכול להיות כל סכום הגדול מאפס ולאו דווקא סכומים עגולים.
לדוגמה, 1,011.26 ש"ח או 2,329.06 ש"ח.
בשפת המתמטיקה אומרים, שהנתון יכול לקבל כל ערך.
כאשר קיים קשר בין קבוצת נתונים לקבוצת תוצאות, אנו אומרים שהתוצאות הן פונקציה של הנתונים. פונקציה היא מעין מכונה. מצד אחד מזינים לתוכה נתון (חומר גלם) ומצד שני מתקבלת תוצאה (מוצר).
בדוגמה שלנו נאמר שסכום הריבית הוא פונקציה של סכום ההלוואה.

רישום פונקציה בשפת הסימנים

באופן כללי, מקובל לציין את התוצאה באות y ואת הנתון באות x.

במקום לכתוב באריכות ש-y היא פונקציה של x מסמנים בקיצור: `y=f(x)` (f – קיצור של המילה function).  
ואומרים: y היא פונקציה של x.

משתנה

לקבוצת הנתונים מקובל לקרוא משתנים חופשיים, ואילו לקבוצת התוצאות – משתנים תלויים.
המונח משתנה בא לציין שהנתונים משתנים מערך לערך.
בדוגמת ההלוואות בפיסקה הקודמת, סך ההלוואה יכול להשתנות מ- 0 עד אינסוף.
המונח משתנה תלוי בא לציין שהתוצאה יכולה להשתנות, שכן היא תלויה בשינוי שחל במשתנה החופשי.
מכאן ואילך, נקרא לקבוצת הנתונים של כל פונקציה גם משתנים, ולקבוצת התוצאות – תוצאות.

תוצאה שמושפעת מ- 2 משתנים (חופשיים)

ישנם מקרים שהתוצאה מושפעת מ-2 משתנים ואף יותר מ-2.
לדוגמה: אברהמי, מהדוגמה הקודמת, מקבל הלוואה נוספת מבנק ב', שתנאיה: ריבית בשיעור של 8% + סכום קבוע של 200 ש"ח לשנה. לאור זאת, סכום הריבית שאברהמי ישלם בסוף השנה מושפע מ- 2 משתנים:
סכום ההלוואה שייקח בבנק א' (משתנה 1) + סכום ההלוואה שייקח בבנק ב' (משתנה 2).
נכון לעכשיו נתייחס רק לפונקציות עם משתנה אחד.

נוסחה

ניתן לתאר את הקשר בין המשתנה לבין התוצאה באמצעות נוסחה.
אותה נוסחה מפרטת לנו כיצד בדיוק משפיע המשתנה על התוצאה.

`y=10%x+100`
x – מייצג את המשתנה (סכום ההלוואה)
y – מייצג את התוצאה (סכום הריבית)

לדוגמה, הנוסחה הבאה מתייחסת לחישוב סכום הריבית שישלם מר אברהמי בסוף השנה לבנק א':

לצורך הנוחות, נקרא לנוסחה: נוסחת הריבית.
בגין כל x כלשהו שנציב בנוסחה, נקבל y (תוצאה) כלשהו.


הקשר בין נוסחה לפונקציה

פונקציה היא מונח שבא לציין שקיים קשר בין משתנה כלשהו לתוצאה.
הנוסחה מציגה את מהות הקשר במדוייק.
לדוגמה, כאשר אנו טוענים שסכום הריבית שאברהמי משלם לבנק מושפעת מסכום ההלוואה אנו למעשה טוענים שסכום הריבית הוא פונקציה של סכום ההלוואה.
כאשר אנו מציגים את נוסחת הריבית אנו למעשה מציגים במדוייק את מהות הקשר.

פונקציה – הקשר בין נתון לתוצאה547פונקציה – הקשר בין נתון לתוצאה