כדי לחוש את נושא ההסתברות נביא כמה דוגמאות שבמסגרתן נבחן עד כמה התוצאות שנקבל מתקרבות להסתברות המתקבלת על בסיס חישוב תיאורטי.
דוגמא 1 – הטלת מטבע 200 פעמים
הטלנו מטבע 200 פעמים, בכל הטלה רשמנו את מה שקיבלנו (“עץ” או “פלי”) וסיכמנו את התוצאות בטבלה הבאה:
|
הערך |
השכיחות (מספר הפעמים שהתקבל כל ערך) |
השכיחות היחסית (בפועל) |
ההסתברות (השכיחות היחסית הצפויה) |
|
“עץ” |
96 |
48% |
50% |
|
“פלי” |
104 |
52% |
50% |
|
סה”כ |
200 |
100% |
100% |
שימו לב שאנו מחלקים את התוצאות ל – 2 קבוצות (“עץ” ו”פלי”) ובודקים את השכיחות היחסית של כל קבוצה כפי שאנו מקבלים בסדרת ההטלות, לעומת ההסתברות המחושבת מראש של כל קבוצה. כצפוי השכיחות היחסית קרובה להסתברות התאורטית אך לא זהה לה.
דוגמא 2 – הטלת מטבע 1,000 פעמים
בדוגמא זו אנו מטילים את המטבע הרבה יותר פעמים (1,000 פעמים). התוצאות שקיבלנו מוצגות בטבלה:
|
הערך |
השכיחות (מספר הפעמים שהתקבל כל ערך) |
השכיחות היחסית (בפועל) |
ההסתברות (השכיחות היחסית הצפויה) |
|
“עץ” |
510 |
51% |
50% |
|
“פלי” |
490 |
49% |
50% |
|
סה”כ |
1000 |
100% |
100% |
השכיחות היחסית יותר קרובה להסתברות התאורטית מאשר במקרה של 200 הטלות, אך עדיין לא זהה לה.
דוגמא 3 – הטלת מטבע 10,000 פעם
בדוגמא זו נטיל את המטבע מספר רב מאוד של פעמים (10,000 פעמים). התוצאות שקיבלנו מוצגות בטבלה:
|
הערך |
השכיחות (מספר הפעמים שהתקבל כל ערך) |
השכיחות היחסית (בפועל) |
ההסתברות (השכיחות היחסית הצפויה) |
|
“עץ” |
4960 |
49.6% |
50% |
|
“פלי” |
5040 |
50.4% |
50% |
|
סה”כ |
10000 |
100.0% |
100% |
אם נתבונן בכל 3 הדוגמאות ביחד, נראה כי באף אחת מהן השכיחות היחסית לא שווה להסתברות התיאורטית (50%, 50%), אך עם זאת ככל שמספר ההטלות גדול יותר השכיחות היחסית מתקרבת להסתברות התיאורטית.
למעשה, ההסתברות היא השכיחות היחסית שאנו מצפים שתתקבל אם נטיל את המטבע אינסוף פעמים.
הטלת קוביה
נעבור מהטלת מטבע להטלת קוביה. בהטלת קוביה יכולות להתקבל 6 תוצאות אפשריות: 1,2,3,4,5,6. ההסתברות לקבלת כל תוצאה כזאת היא `1/6` , או באחוזים 16.6%.
בדומה למקרה המטבע, נביא כאן 2 דוגמאות שגם בהן נראה כי ככל שמספר ההטלות גדול יותר, השכיחות היחסית שמתקבלת מתקרבת להסתברות.
דוגמא 1 – הטלת קוביה 120 פעם
התוצאה שקיבלנו:
|
הערך |
השכיחות (מספר הפעמים שהתקבל כל ערך) |
השכיחות היחסית (בפועל) |
ההסתברות (השכיחות היחסית הצפויה) |
|
1 |
15 |
12.5% |
16.6% |
|
2 |
22 |
18.3% |
16.6% |
|
3 |
26 |
21.6% |
16.6% |
|
4 |
21 |
17.5% |
16.6% |
|
5 |
10 |
8.3% |
16.6% |
|
6 |
26 |
21.6% |
16.6% |
|
סה”כ |
120 |
100.0% |
100.0% |
דוגמא 2 – הטלת קוביה 12,000 פעמים
התוצאה שקיבלנו:
|
הערך |
השכיחות (מספר הפעמים שהתקבל כל ערך) |
השכיחות היחסית (בפועל) |
ההסתברות (השכיחות היחסית הצפויה) |
|
1 |
1950 |
16.3% |
16.6% |
|
2 |
1901 |
15.8% |
16.6% |
|
3 |
2233 |
18.6% |
16.6% |
|
4 |
1942 |
16.2% |
16.6% |
|
5 |
2185 |
18.2% |
16.6% |
|
6 |
1789 |
14.9% |
16.6% |
|
סה”כ |
12000 |
100.0% |
100.0% |
גם בשתי הדוגמאות של הטלת הקוביה השכיחות היחסית של כל ערך אינה תואמת להסתברות התיאורטית, אך ככל שמספר הזריקות עולה השכיחות היחסית מתקרבת להסתברות התיאורטית.
הסתברויות שלא ניתן לחשבן מראש
בדוגמאות של המטבע והקוביה ניתן לדעת את ההסתברות של כל קבוצה מראש.
מנגד אם נמיין את ילדי כתות א' בישראל ל – 100 קבוצות גובה לא נוכל לחשב מראש את ההסתברות של כל קבוצה.
במקרים מסוג זה אנו יכולים רק לאמוד את ההסתברות על בסיס תוצאות של מדגם. עוד נרחיב בנושא זה.
