סטטיסטיקה למתחילים

ההסתברות במבחן המציאות - דוגמאות

כדי לחוש את נושא ההסתברות נביא כמה דוגמאות שבמסגרתן נבחן עד כמה התוצאות שנקבל מתקרבות להסתברות המתקבלת על בסיס חישוב תיאורטי.

דוגמא 1 - הטלת מטבע 200 פעמים

הטלנו מטבע 200 פעמים, בכל הטלה רשמנו את מה שקיבלנו ("עץ" או "פלי") וסיכמנו את התוצאות בטבלה הבאה:

הערך

השכיחות

(מספר הפעמים שהתקבל כל ערך)

השכיחות

היחסית

(בפועל)

ההסתברות

(השכיחות היחסית הצפויה)

"עץ"

96

48%

50%

"פלי"

104

52%

50%

סה"כ

200

100%

100%

שימו לב שאנו מחלקים את התוצאות ל - 2 קבוצות ("עץ" ו"פלי") ובודקים את השכיחות היחסית של כל קבוצה כפי שאנו מקבלים בסדרת ההטלות, לעומת ההסתברות המחושבת מראש של כל קבוצה. כצפוי השכיחות היחסית קרובה להסתברות התאורטית אך לא זהה לה.

דוגמא 2 - הטלת מטבע 1,000 פעמים

בדוגמא זו אנו מטילים את המטבע הרבה יותר פעמים (1,000 פעמים). התוצאות שקיבלנו מוצגות בטבלה:

הערך

השכיחות

(מספר הפעמים

שהתקבל כל ערך)

השכיחות

היחסית

(בפועל)

ההסתברות

(השכיחות היחסית

הצפויה)

"עץ"

510

51%

50%

"פלי"

490

49%

50%

סה"כ

1000

100%

100%

השכיחות היחסית יותר קרובה להסתברות התאורטית מאשר במקרה של 200 הטלות, אך עדיין לא זהה לה.

דוגמא 3 - הטלת מטבע 10,000 פעם

בדוגמא זו נטיל את המטבע מספר רב מאוד של פעמים (10,000 פעמים). התוצאות שקיבלנו מוצגות בטבלה:

הערך

השכיחות

(מספר הפעמים

שהתקבל כל ערך)

השכיחות

היחסית

(בפועל)

ההסתברות

(השכיחות היחסית

הצפויה)

"עץ"

4960

49.6%

50%

"פלי"

5040

50.4%

50%

סה"כ

10000

100.0%

100%

אם נתבונן בכל 3 הדוגמאות ביחד, נראה כי באף אחת מהן השכיחות היחסית לא שווה להסתברות התיאורטית  (50%, 50%), אך עם זאת ככל שמספר ההטלות גדול יותר השכיחות היחסית מתקרבת להסתברות התיאורטית.

למעשה, ההסתברות היא השכיחות היחסית שאנו מצפים שתתקבל אם נטיל את המטבע אינסוף פעמים.

 

הטלת קוביה

נעבור מהטלת מטבע להטלת קוביה. בהטלת קוביה יכולות להתקבל 6 תוצאות אפשריות: 1,2,3,4,5,6. ההסתברות לקבלת כל תוצאה כזאת היא `1/6` , או באחוזים 16.6%.

בדומה למקרה המטבע, נביא כאן 2 דוגמאות שגם בהן נראה כי ככל שמספר ההטלות גדול יותר, השכיחות היחסית שמתקבלת מתקרבת להסתברות.

דוגמא 1 - הטלת קוביה 120 פעם

התוצאה שקיבלנו:

הערך

השכיחות

(מספר הפעמים שהתקבל כל ערך)

השכיחות

היחסית

(בפועל)

ההסתברות

(השכיחות היחסית הצפויה)

1

15

12.5%

16.6%

2

22

18.3%

16.6%

3

26

21.6%

16.6%

4

21

17.5%

16.6%

5

10

8.3%

16.6%

6

26

21.6%

16.6%

סה"כ

120

100.0%

100.0%

 

דוגמא 2 - הטלת קוביה 12,000 פעמים

התוצאה שקיבלנו:

הערך

השכיחות

(מספר הפעמים

שהתקבל כל ערך)

השכיחות

היחסית

(בפועל)

ההסתברות

(השכיחות היחסית

הצפויה)

1

1950

16.3%

16.6%

2

1901

15.8%

16.6%

3

2233

18.6%

16.6%

4

1942

16.2%

16.6%

5

2185

18.2%

16.6%

6

1789

14.9%

16.6%

סה"כ

12000

100.0%

100.0%

גם בשתי הדוגמאות של הטלת הקוביה השכיחות היחסית של כל ערך אינה תואמת להסתברות התיאורטית, אך ככל שמספר הזריקות עולה השכיחות היחסית מתקרבת להסתברות התיאורטית.

 

הסתברויות שלא ניתן לחשבן מראש

בדוגמאות של המטבע והקוביה ניתן לדעת את ההסתברות של כל קבוצה מראש.

מנגד אם נמיין את ילדי כתות א' בישראל ל - 100 קבוצות גובה לא נוכל לחשב מראש את ההסתברות של כל קבוצה.

במקרים מסוג זה אנו יכולים רק לאמוד את ההסתברות על בסיס תוצאות של מדגם. עוד נרחיב בנושא זה.

ההסתברות במבחן המציאות - דוגמאות591 ההסתברות במבחן המציאות - דוגמאות