סטטיסטיקה למתחילים

המעבר מעקום נורמלי כלשהו לעקום סטנדרטי

במציאות יש לנו אינסוף פעמונים אפשריים, ולא רק את הפעמון הסטנדרטי. לכל התפלגות יש תוחלת משלה וסטית תקן משלה ולכן פעמון משלה. היכולת שלנו לחשב הסתברויות בהתפלגות נורמלית סטנדרטית לא עוזרת לנו (בינתיים) בחישובי הסתברויות בפעמונים אחרים, שהם רוב המקרים במציאות. ושוב באו המתמטיקאים לעזרתנו. הם מצאו דרך להפוך כל התפלגות נורמלית (עקום המטרה) להתפלגות נורמלית סטנדרטית.
דרך זו נקראת
תיקנון. תיקנון הוא למעשה מעין "תירגום" הערכים של התפלגות נורמלית כלשהי לערכים התואמים את הפעמון הסטנדרטי (= ערכים מתוקננים), ואז נוכל להשתמש בטבלה. מכאן שכמעט כל בעיה שנרצה לפתור תכלול שתי פעולות נפרדות:   
  1. תיקנון 
  2. חיפוש בטבלה.
הערכים המתוקננים נקראים ציוני תקן.
פעולת התקנון היא פעולת התרגום מעקום המטרה לעקום הסטנדרטי.

פעולת התיקנון - המחשה ציורית מקדימה

באופן ציורי אפשר לדמות את פעולת התיקנון למצב שבו אנו רוצים למדוד את האורך של חוט מסולסל.
תחילה אנו מניחים אותו על סרגל ואח"כ מיישרים אותו.
כך עושים בעקום נורמלי כלשהו (עקום המטרה). תחילה "מניחים" אותו על העקום הסטנדרטי (כך שמרכז עקום המטרה יפול על 0) ואח"כ "מעצבים" אותו בדיוק לצורת העקום הסטנדרטי (מקביל לפעולת מתיחת החוט) העיצוב אפשרי, היות ושניהם בעלי אותו שטח (=1).
"ההנחה" ו"העיצוב" מתבצעים באמצעות 2 פעולות חשבון פשוטות: 
(1) חיסור ו-(2) חילוק. שאותן מבצעים בו זמנית.
"ההנחה" מבוצעת באמצעות החסרת כל ערך בעקום המטרה (= מספר על ציר הX-ים) בתוחלת שלו. כך התוחלת שלו הופכת להיות 0 ( = תוחלת פחות תוחלת). "העיצוב" נעשה באמצעות חילוק התוצאה שהתקבלה בסטיית התקן של עקום המטרה. בסוף התהליך לצד כל ערך בעקום המטרה ( שנכנה אותו: הערך המקורי) ישנו ערך נוסף שמכונה הערך המתוקנן.
באמצעות הערכים המתוקננים אנו מחשבים הסתברויות המתייחסות לערכים המקוריים בעקום המטרה.  

ועכשיו לדוגמאות:

העקום הנורמלי בתרשים A מציג את התפלגות הגובה של ילדי כתה י"ב;
התוחלת שלו היא 170 ס"מ.  [170 ס"מ=μ]
סטיית התקן – 10                [δ=10]             
כמובן שהעקום הנורמלי הזה אינו עקום סטנדרטי (שבו התוחלת שווה ל - 0 וסטיית התקן ל - 1).
נניח שאנו מעוניינים לחשב מהי ההסתברות להיפגש עם ילד באופן מקרי שגובהו מתחת ל 180 ס"מ או במילים אחרות איזה אחוז מהתלמידים בכתה י"ב נמוכים מ - 180 ס"מ.
המעבר מעקום נורמלי כלשהו לעקום סטנדרטי
כדי למצוא את ציון התקן (הערך המתוקנן) של 180, נפחית מ-180 את התוחלת של ההתפלגות (=170), ואת התוצאה נחלק בסטית התקן שלה(=10) ונקבל - 1: `[(180-170)/10-=10/10-=1]`  כלומר, ציון התקן של 180 הוא 1.
במילים אחרות: הערך 180 בעקום המטרה, זהה לערך 1 בעקום הסטנדרטי.

נרשום בתרשים את ציון התקן (1) מתחת לערך המקורי (180)

המעבר מעקום נורמלי כלשהו לעקום סטנדרטי
הערה: ציון התקן של התוחלת הוא תמיד 0. אפשר לבדוק זאת על ידי כך שנתקנן את התוחלת: `(170-170)/10=0/10=0`
כעת במקום לשאול את השאלה: איזה אחוז מהאנשים נמצאים מתחת ל - 180, נוכל לשאול איזה אחוז מהפעמון הסטנדרטי נמצא מתחת ל - 1 . מה בעצם עשינו: תרגמנו את השאלה משאלה שאנחנו לא יודעים לענות עליה, לשאלה זהה שאנחנו יודעים לענות עליה. על השאלה השניה נענה באמצעות הטבלה, ונראה שהשטח המסומן בתרשים הוא 0.8413, כלומר 84.13% מהאנשים נמוכים מ - 180 ס"מ.

למעשה פעולת ה"תירגום" של עקום המטרה לעקום הסטנדרטי כוללת  2 שלבים:

  1. "מתיחה" או "כיווץ" של עקום המטרה (שאת שטחיו אנו רוצים למדוד) לצורה של עקום נורמלי סטנדרטי (מבלי לשנות את המספרים על גבי הציר. השינוי הוא רק במרווחים שבין המספרים). "המתיחה" או "הכיווץ" מבוצעים ע"י פעולת החילוק שבנוסחת התיקנון.
  2. הזזה של העקום כך שיעלה בדיוק מעל העקום הנורמלי הסטנדרטי בחפיפה מלאה. ההזזה מבוצעת ע"י פעולת החיסור שבנוסחת התיקנון.

 

המעבר מעקום נורמלי כלשהו לעקום סטנדרטי539המעבר מעקום נורמלי כלשהו לעקום סטנדרטי