סטטיסטיקה למתחילים

חישוב ההסתברות שיתרחש לפחות אחד משני מאורעות

נתבונן שוב בשני המאורעות שהיתה ביניהם חפיפה:

 חישוב ההסתברות שיתרחש אחד משני מאורעות (לפחות)

מאורע א' - הוצאת כדור עם פסים:

 

 

מאורע ב' - הוצאת כדור ירוק:

מהי ההסתברות שיתרחש לפחות אחד מבין שני המאורעות?

נוכל לאחד את שני המאורעות הללו למאורע אחד:  חישוב ההסתברות שיתרחש אחד משני מאורעות (לפחות)

 

                                                     

  • גודל המאורע המאוחד הוא 4
  • גודל מרחב המדגם הוא 5 (יש 5 כדורים בכד)

ולכן ההסתברות שאנו מחפשים היא `4/5`

החישוב כאשר המאורעות זרים

נתבונן שוב בשני המאורעות הזרים:

חישוב ההסתברות שיתרחש אחד משני מאורעות (לפחות) במאורעות זרים

מאורע א' - הוצאת כדור עם פסים:

 

מאורע ב' - הוצאת כדור ירוק עם נקודות: 

 

 

מהי ההסתברות שיתרחש לפחות אחד מבין שני המאורעות?

נוכל לאחד את שני המאורעות הללו למאורע אחד:

 חישוב ההסתברות שיתרחש אחד משני מאורעות (לפחות) במאורעות זרים

 

ולהגיע למסקנה שההסתברות שיתרחש לפחות אחד מהמאורעות א' או ב' היא `4/5`  
(ההסבר: 4 כדורים [מתוך 5] יכולים להביא להתרחשות המאורע המאוחד).

 

אבל כאן, בגלל שהמאורעות זרים יש לנו דרך נוספת:
שלב א': נחשב את ההסתברות של מאורע א' ונקבל `3/5`  (ההסבר: 3 כדורים [מתוך 5] יכולים להביא להתרחשות מאורע א'). 
שלב ב': נחשב את ההסתברות של מאורע ב' ונקבל `1/5`  (ההסבר: כדור 1 [מתוך 5] יכולים להביא להתרחשות מאורע ב').
שלב ג': נסכם את שתי ההסתברויות הנ"ל (שלב א' + שלב ב') ונקבל `4/5`  כלומר קיימת הסתברות של `4/5`  (80%) שהכדור שנשלוף מהכד יביא להתרחשות של מאורע א' או למאורע ב'. 
חישוב זה נעשה תוך שימוש בעקרון החיבור (חיברנו שתי הסתברויות). יש לשים לב כי עקרון החיבור תקף רק כאשר מדובר במאורעות זרים.

 

אותה דוגמא תוך שימוש במאורעות משלימים

נתבונן שוב באותם שני המאורעות:
  • מאורע א' - הוצאת כדור עם פסים
  • מאורע ב' - הוצאת כדור ירוק עם נקודות 

במקרה הזה אפשר לחשב את ההסתברות שיתרחש אחד מהם גם באמצעות מאורעות משלימים.

ישנו רק כדור אחד (אדום עם נקודות) שהוצאתו לא תביא, להתרחשות מאורע א' או מאורע ב'. לכן הוצאת כדור אדום עם נקודות הוא המאורע המשלים למאורעות א' ו - ב' כאשר הם מאוחדים.

ההסתברות להוצאתו של הכדור הבודד הזה היא `1/5` .                                                                    

הוצאתו של כל כדור אחר חייבת להביא להתרחשותו של מאורע א' או מאורע ב'.

ולכן ההסתברות שאחד מהמאורעות א' או ב' יתרחשו היא  `4/5=1/5-1`

חישוב ההסתברות שיתרחש לפחות אחד משני מאורעות 530חישוב ההסתברות שיתרחש לפחות אחד משני מאורעות