סטטיסטיקה למתחילים

מדד מרכז - תוחלת

מדדים

כאשר עסקנו במדגמים סטטיסטיים למדנו לחשב את הממוצע (מדד מרכז) ואת סטית התקן (מדד פיזור). גם כאן כאשר אין לנו מדגמים (כלומר, תוצאות ממשיות של ניסויים) אלא רק תוצאות תאורטיות של ניסויים (כלומר, הסתברויות) נוכל להגדיר ולחשב מדדים.

מדד המרכז במקרה זה הוא התוחלת. התוחלת היא בעצם הממוצע התאורטי, הממוצע שאנו מצפים לקבל אם ניסוי מסויים יתנהג בדיוק כפי שאנו מצפים לפי ההסתברויות.

 

תוחלת - הבנת המשמעות תוך כדי משחק

אתה מוזמן להשתתף במשחק שהוראותיו הם כדלקמן:

  1. עליך לזרוק קוביה 600 פעם (כל זריקה מכונה:סיבוב).
  2. בכל סיבוב אתה זוכה בסכום כספי בש"ח הזהה לתוצאות הקוביה.   
    מספר 1 מזכה אותך ב - 1 ש"ח
       
    מספר 2 מזכה אותך ב - 2 ש"ח וכך הלאה.
  3. עבור השתתפות במשחק עליך לשלם מראש 1800 ש"ח . (3 ש"ח לסיבוב).

האם כדאי לך להשתתף במשחק?

התשובה היא שלא תוכל לדעת מראש בבטחון של 100%. יכול להיות מקרה שבו יתקבלו קצת יותר מספרים נמוכים מאשר מספרים גבוהים ואז תפסיד. לעומת זאת אם יתקבלו יותר מספרים גבוהים מאשר נמוכים תוכל להרוויח. מכיוון שלא נותנים לך את התוצאה הקונקרטית של המשחק לפני המשחק, תצטרך לקבל את ההחלטה לפי התוצאה התאורטית של המשחק. וכאן נכנסת התוחלת לפעולה.

מכיוון שההסתברות לקבלתו של כל אחד מהמספרים היא `1/6` , כל אחד מהמספרים יופיע באופן תאורטי בדיוק 100 פעמים במהלך המשחק (זוהי השכיחות התאורטית).  

כדי לקבל החלטה עליך לחשב אם סך כל הזכיות שלך גדול או קטן מהתשלום.

חישוב סך הזכיות:

המספר הזוכה

כמות הפעמים

סכום הזכייה

          1

100 פעם

100 ש"ח

          2

100

200

          3

100

300

          4   

100

400

          5

100

500

          6

100

600

סה"כ

600 פעם

2,100 ש"ח

 

ממוצע סכום הזכיה לסיבוב 3.5 ש"ח (2,100 חלקי 600 פעם)

והמסקנה:
כדאי להשתתף במשחק שכן תרויח בממוצע בכל סיבוב 0.5 ש"ח = (3.5-3.0) 
אילו התשלום הנדרש היה 4.0 ש"ח לסיבוב , ובסה"כ  2400 ש"ח, לא היה כדאי להשתתף במשחק.
אילו התשלום הנדרש היה 3.5 ש"ח, היית אדיש.

 

תוחלת הרווח

הממוצע התאורטי לסכום הזכיה לסיבוב נקרא: תוחלת הרווח.
תוחלת הרווח במשחק זה היא 3.5 ש"ח.

 

חישוב התוחלת בדרך אחרת

שלב א' - נחשב מהי ההסתברות לקבלת כל מספר בקוביה ונציב אותו בטבלה:

המספר בקוביה

1

2

3

4

5

6

התסברות

`1/6`

`1/6`

`1/6`

`1/6`

`1/6`

`1/6`

  

שלב ב' - חישוב סך הזכיה וממוצע הזכיה לסיבוב, תוך שימוש בהסתברויות.

חישוב תוחלת

מדד מרכז - תוחלת568 מדד מרכז - תוחלת