סטטיסטיקה למתחילים

ממוצע

ממוצע הוא מספר בודד (פרי חישוב) שבא לאפיין מעין גודל אמצעי של קבוצת נתונים בעלי אופי דומה, שנמדדים באותה יחידת מידה. קבוצת הנתונים יכולה להיות ציונים של תלמידי כתה א', הגובה של ילדים בגיל 10 וכד'. הגדרה יותר מדוייקת של המונח ממוצע תוצג במהלך הפרק.

 

כיצד מחשבים ממוצע

נציג 3 דרכים לחישוב ממוצע על רקע דוגמא המתייחסת לציונים שקיבלו 10 תלמידי כתה ד' במבחן בחשבון.

דרך א': סיכום הציונים וחלוקתם במספר התלמידים

בטבלה שלהלן מפורטים ציוני התלמידים במבחן.

סדר התלמידים (לפי א-ב של שמותיהם)

הציון (בנקודות)

תלמיד מס' 1

90 נק'

תלמיד מס' 2

80 נק'

תלמיד מס' 3

70 נק'

תלמיד מס' 4

90 נק'

תלמיד מס' 5

80 נק'

תלמיד מס' 6

70 נק'

תלמיד מס' 7

80 נק'

תלמיד מס' 8

70 נק'

תלמיד מס' 9

70 נק'

תלמיד מס' 10

70 נק'

סה"כ סכום הציונים

770 נק'

ממוצע

חישוב ממוצע

על מנת לחשב את הממוצע אנו מסכמים תחילה את סך כל הציונים של התלמידים. התוצאה המתקבלת היא 770 נקודות ואותה אנו מחלקים במספר התלמידים (10) ומקבלים 77 נקודות . 77 נקודות הוא הממוצע.

 

הגדרה יותר מדוייקת של הממוצע

לסה"כ הציונים של הקבוצה (770 נקודות) נקרא: הסכום המקורי של סך ציוני הקבוצה. הממוצע הוא נתון בגודל כזה שאילו כל 10 הציונים היו אחידים, בגודל של הממוצע, אז סה"כ כל 10 הציונים האחידים היו משתווים לסכום המקורי של סך ציוני הקבוצה. כלומר: 770 נקודות = 77 (ממוצע) * 10

 

דרך ב': באמצעות התרומה של כל תלמיד לממוצע

כפי שנראה מיד, כל תלמיד תורם מספר נקודות כלשהו לממוצע. גודל התרומה מושפע מ - 2 גורמים:

  1. הציון שלו - ככל שהציון יותר גבוה, תרומתו לממוצע יותר גדולה.
  2. חלקו היחסי בכיתה (דורש הסבר)

המונח חלקו היחסי בא לציין מה חלקו של התלמיד מכלל מספר התלמידים בכיתה.

  • בכיתה בת 10 תלמידים, כל תלמיד מהווה `1/10` או 10% מהכיתה.
  • בכיתה בת 2 תלמידים, כל תלמיד מהווה `1/2`  או 50% מהכיתה.
  • בכיתה בת  תלמיד אחד, כל תלמיד מהווה 1 או 100% מהכיתה.

ככל שחלקו היחסי של התלמיד יותר גדול, תרומתו לממוצע יותר גדולה. לעיתים נוהגים להשתמש במונח משקלו של התלמיד במקום במונח חלקו היחסי. וכך נעשה גם אנו בהמשך (ברוב המקרים).

ממוצע

האיור שבהמשך מציג את תרומתו של כל תלמיד לממוצע. האיור מחולק ל - 2 חלקים:

  • חלק א' - מציג את כל אחד מעשרת התלמידים ומתחתיו את הציון שקיבל.
  • חלק ב' - מציג את התרומה של כל תלמיד לממוצע, ודרך חישובה.

באיור ניתן לראות שתלמידה  מס' 1 תורמת  9 נקודות לממוצע. תרומתה מתקבלת מהמכפלה של ציונה (90 נקודות) במשקלה בכיתה (10%). תלמיד מס' 2 תורם 8 נקודות לממוצע (ציונו 80 נקודות ומשקלו 10%) וכך הלאה עד התלמיד ה - 10.

ממוצע

 

 

 

 

 

 

 

דרך ג': באמצעות קבוצות תלמידים בעלי אותו ציון

דרך זו היא היותר פופולארית והיותר פשוטה. לצורך החישוב אנו מסדרים את תלמידי הכיתה בקבוצות עפ"י הציון שקיבלו. 

ממוצע

גודל התרומה של כל קבוצה מושפע מ - 2 גורמים:

  1. הציון של הקבוצה - ככל שהציון יותר גבוה, כך תרומת הקבוצה לממוצע יותר גדולה.
  2. משקל הקבוצה - משקל הקבוצה הוא סה"כ משקלם של כל התלמידים בקבוצה. בדוגמא שלנו משקלו של כל תלמיד הוא 10%. ולכן משקלם של 3 תלמידים הוא 30% ושל 5 תלמידים הוא 50%.

באיור שלעיל ניתן לראות ש:

  • קבוצה 1 תורמת לממוצע 18 נקודות.
  • קבוצה 2 תורמת לממוצע 24 נקודות.

ובסה"כ 3 הקבוצות תורמות 77 נקודות  , שהוא הממוצע.קבוצה 3 תורמת לממוצע 35 נקודות. 

ארגון הנתונים בטבלה

נציג את הנתונים בטבלה:

מיספור הקבוצות
(1)

 הציונים
(2)

מספר הפרטים בכל קבוצה
(3)

משקל הקבוצה
(4)

תרומת הקבוצה לממוצע
(4) * (2)

קבוצה 1

90 נק'

2

20%

         18 נק'

קבוצה 2

80 נק'

3

30%

         24 נק'

קבוצה 3

70 נק'

5

50%

         35 נק'

סה"כ

 

10

100%

הממוצע   77 נק'

 

נשים לב, כי הטבלה הנ"ל היא בעצם טבלת שכיחויות. טור 2 מייצג את הערך של המשתנה, טור 3 את השכיחות, וטור 4 את השכיחות היחסית.

מכאן שהמושגים חלק יחסי, שכיחות יחסית, משקל הם מילים נרדפות.

ממוצע599ממוצע