סטטיסטיקה למתקדמים

מרווח סמך כאשר סטיית התקן לא ידועה

דוגמא

הגובה של תלמידי כיתה ג' בבית-ספר מסויים (משתנה הבסיס) מתפלג נורמלית עם תוחלת לא ידועה ועם סטיית תקן לא ידועה. במדגם של 9 תלמידים התקבלו הגבהים הבאים (בס"מ): 126, 139, 136, 132, 128, 136, 135, 127, 138.
יש לבנות מרווח סמך לתוחלת ברמת סמך של 90%.

 

פתרון

  1. נחשב את הממוצע: `(126+139+136+132+128+136+135+127+138)/9=1197/9=133`   נסמל את משתנה הבסיס ב-G 1 , ואת משתנה הממוצע ב- G9
  2. נמצא את הערך המתאים בטבלה t:
    מכיוון שגודל המדגם הוא 9, אז מספר דרגות החופש הוא 8. מכיוון שמבוקשת רמת סמך של 90% יש להשתמש בטור (2‚) של טבלה t. הערך הנמצא בטור ‚(2‚) בשורה של 8 דרגות חופש הוא 1.86.
    מכאן, שהגבול העליון של מרווח הסמך יהיה 1.86 טעויות תקן מעל 133 ס"מ (הממוצע שחישבנו) והגבול התחתון של מרווח הסמך יהיה 1.86 טעויות תקן מתחת ל-133 ס"מ.
  3. נחשב את טעות התקן של משתנה הבסיס (G1):

    הגובה של כל ילד

    הגובה הממוצע

    ההפרש מהממוצע

    ריבוע ההפרש

    126

    133

    7-

    49

    139

    133

    6

    36

    136

    133

    3

    9

    132

    133

    1-

    1

    128

    133

    5-

    25

    136

    133

    3

    9

    135

    133

    2

    4

    127

    133

    6-

    36

    138

    133

    5

    25

    השונות (של משתנה הבסיס) תהיה: `(49+36+9+1+25+9+4+36+25)/(9-1)=194/8=24.25`  
    טעות התקן של משתנה הבסיס היא שורש השונות שלו: 

  4. נחשב את טעות התקן של משתנה הממוצע: `hatSigma_(G_9)=(hatSigma_(G_1))/sqrt(9)=4.92/sqrt(9)=4.92/3=1.64`
  5. הגבול העליון של מרווח הסמך הוא 136.05

    טעות התקן מטבלה t הממוצע
    136.05 1.64 = 1.86 * 133 +
  6. הגבול התחתון של מרווח הסמך הוא 129.95

    טעות התקן מטבלה t הממוצע
    129.95 1.64 = 1.86 * 133 -

    מרווח הסמך הוא בין 129.95 ס"מ לבין 136.05 ס"מ, כלומר בהסתברות של 90% תוחלת התפלגות הגובה של התלמידים נמצאת בתחום זה.

לסיכום

כדי למצוא מרווח סמך לתוחלת של משתנה מסויים מתוך מדגם יש לבצע את הפעולות הבאות:

  1. לחשב את ממוצע המדגם.
  2. למצוא את הערך הרלוונטי בטבלה t, לפי רמת הסמך המבוקשת ומספר דרגות החופש (גודל המדגם פחות 1).
  3. לחשב את טעות התקן של משתנה הבסיס.
  4. לחשב את טעות התקן של משתנה הממוצע (ע"י חלוקת טעות התקן של משנה הבסיס בשורש של גודל המדגם).
  5. הגבול העליון של מרווח הסמך הוא הממוצע (שמצאנו בסעיף 1) ועוד המכפלה של הערך המתאים מטבלה t (שמצאנו בסעיף 2) עם טעות התקן של משתנה הממוצע (שמצאנו בסעיף 4).
  6. הגבול התחתון של מרווח הסמך הוא הממוצע (שמצאנו בסעיף 1) פחות המכפלה של הערך המתאים מטבלה t (שמצאנו בסעיף 2) עם טעות התקן של משתנה הממוצע (שמצאנו בסעיף 4).
מרווח סמך כאשר סטיית התקן לא ידועה570מרווח סמך כאשר סטיית התקן לא ידועה