דוגמא
הגובה של תלמידי כיתה ג' בבית-ספר מסויים (משתנה הבסיס) מתפלג נורמלית עם תוחלת לא ידועה ועם סטיית תקן לא ידועה. במדגם של 9 תלמידים התקבלו הגבהים הבאים (בס”מ): 126, 139, 136, 132, 128, 136, 135, 127, 138.
יש לבנות מרווח סמך לתוחלת ברמת סמך של 90%.
פתרון
- נחשב את הממוצע: `(126+139+136+132+128+136+135+127+138)/9=1197/9=133` נסמל את משתנה הבסיס ב-G 1 , ואת משתנה הממוצע ב- G9
- נמצא את הערך המתאים בטבלה t:
מכיוון שגודל המדגם הוא 9, אז מספר דרגות החופש הוא 8. מכיוון שמבוקשת רמת סמך של 90% יש להשתמש בטור (2) של טבלה t. הערך הנמצא בטור (2) בשורה של 8 דרגות חופש הוא 1.86.
מכאן, שהגבול העליון של מרווח הסמך יהיה 1.86 טעויות תקן מעל 133 ס”מ (הממוצע שחישבנו) והגבול התחתון של מרווח הסמך יהיה 1.86 טעויות תקן מתחת ל-133 ס”מ. - נחשב את טעות התקן של משתנה הבסיס (G1):
הגובה של כל ילד
הגובה הממוצע
ההפרש מהממוצע
ריבוע ההפרש
126
133
7-
49
139
133
6
36
136
133
3
9
132
133
1-
1
128
133
5-
25
136
133
3
9
135
133
2
4
127
133
6-
36
138
133
5
25
השונות (של משתנה הבסיס) תהיה: `(49+36+9+1+25+9+4+36+25)/(9-1)=194/8=24.25`
טעות התקן של משתנה הבסיס היא שורש השונות שלו: - נחשב את טעות התקן של משתנה הממוצע: `hatSigma_(G_9)=(hatSigma_(G_1))/sqrt(9)=4.92/sqrt(9)=4.92/3=1.64`
- הגבול העליון של מרווח הסמך הוא 136.05
טעות התקן מטבלה t הממוצע 136.05 1.64 = 1.86 * 133 + - הגבול התחתון של מרווח הסמך הוא 129.95
טעות התקן מטבלה t הממוצע 129.95 1.64 = 1.86 * 133 – מרווח הסמך הוא בין 129.95 ס”מ לבין 136.05 ס”מ, כלומר בהסתברות של 90% תוחלת התפלגות הגובה של התלמידים נמצאת בתחום זה.
לסיכום
כדי למצוא מרווח סמך לתוחלת של משתנה מסויים מתוך מדגם יש לבצע את הפעולות הבאות:
- לחשב את ממוצע המדגם.
- למצוא את הערך הרלוונטי בטבלה t, לפי רמת הסמך המבוקשת ומספר דרגות החופש (גודל המדגם פחות 1).
- לחשב את טעות התקן של משתנה הבסיס.
- לחשב את טעות התקן של משתנה הממוצע (ע”י חלוקת טעות התקן של משנה הבסיס בשורש של גודל המדגם).
- הגבול העליון של מרווח הסמך הוא הממוצע (שמצאנו בסעיף 1) ועוד המכפלה של הערך המתאים מטבלה t (שמצאנו בסעיף 2) עם טעות התקן של משתנה הממוצע (שמצאנו בסעיף 4).
- הגבול התחתון של מרווח הסמך הוא הממוצע (שמצאנו בסעיף 1) פחות המכפלה של הערך המתאים מטבלה t (שמצאנו בסעיף 2) עם טעות התקן של משתנה הממוצע (שמצאנו בסעיף 4).
