סטטיסטיקה למתקדמים

משתנה מקרי אחיד

התפלגות אחידה

התפלגות אחידה היא התפלגות שבה קיים סיכוי זהה לקבל את כל אחד מערכי המשתנה המקרי.

דוגמאות

דוגמה 1 – מתייחסת להטלת קובייה

נגדיר משתנה מקרי שהוא: המספר המתקבל בזריקת קובייה. המשתנה המקרי הזה יכול לקבל 6 ערכים (=6 תוצאות אפשריות). הסיכוי לקבל כל ערך הוא `1/6` .
היות וערכי המשתנה המקרי הם מספרים שלמים (מ 1 עד 6) זוהי התפלגות בדידה (משתנה מקרי בדיד). במקרים רבים הערכים בהתפלגות אחידה הם גם מספרים עוקבים.

טבלת ההתפלגות של המשתנה המקרי הנ"ל מוצגת בטבלה 2.22:

טבלה #2.22

הערך (X)

1

2

3

4

5

6

ההסתברות (P)

`1/6`

`1/6`

`1/6`

`1/6`

`1/6`

`1/6`

 

דוגמה 2 – מתייחסת ל-8 שחיינים בעלי אותה רמה

8 שחיינים בעלי אותה רמת שחייה מתחרים ביניהם. החולצות שלהם ממוספרות מ 1 עד 8. המשתנה המקרי בדוגמה זו יהיה: מספר החולצה המנצחת.

 

המשתנה המקרי יכול לקבל את הערכים 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. ההסתברות לקבל כל ערך היא זהה, כי הם בעלי אותה רמה.
טבלת ההתפלגות של המשתנה המקרי הנ"ל מוצגת בטבלה 2.23:

טבלה #2.23

הערך (X)

1

2

3

4

5

6

7

8

ההסתברות (P)

`1/8`

`1/8`

`1/8`

`1/8`

`1/8`

`1/8`

`1/8`

`1/8`


דוגמה 3 – מתייחסת לסביבון

מסובבים סביבון שעליו מופיעים המספרים 7, 8, 9, 10 (במקום האותיות נ', ג', ה', פ').
נגדיר משתנה מקרי שהוא המספר המתקבל שהסביבון נופל. קיימת הסתברות שווה לקבל כל אחד מ 4 ערכי ההתפלגות שהיא `1/4` .
טבלת ההתפלגות מוצגת בטבלה 2.24:

טבלה #2.24

הערך (X)

7

8

9

10

ההסתברות (P)

`1/4`

`1/4`

`1/4`

`1/4`

 

חישוב התוחלת של משתנה מקרי בדיד שהתפלגותו אחידה

נחשב את התוחלת של כל אחד מהמשתנים המקריים בשלוש הדוגמאות שהצגנו לעיל, בעזרת טבלת התפלגות של כל משתנה מקרי:
החישוב נעשה ב 2 מהלכים:
מהלך 1- אנו כופלים כל ערך בהסתברות לקבלתו.
מהלך 2- מסכמים את התוצאות שהתקבלו במהלך 1. תוצאת הסיכום היא התוחלת.

חישוב התוחלת של כל אחד מהמשתנים הנ"ל מוצג בטבלה 2.25:

טבלה #2.25

המשתנה המקרי

התוחלת

צורת החישוב

תוצאת הקובייה

3.5

`1/6*1+1/6*2+1/6*3+1/6*4+1/6*5+1/6*6=`

השחיין המנצח

4.5

`1/8*1+1/8*2+1/8*3+1/8*4+1/8*5+1/8*6+*7+1/8*8=`

תוצאת הסביבון

8.5

`1/4*7+1/4*8+1/4*9+1/4*10=`

 

חישוב התוחלת בדרך פשוטה וקצרה (בהתפלגות אחידה ובדידה)

נלמד נוסחה קלה לחשב את התוחלת כאשר מדובר במשתנה מקרי בדיד שהתפלגותו אחידה: התוחלת היא הממוצע של 2 הערכים בקצוות. הערך הנמוך ביותר והערך הגבוה ביותר.

בדוגמת הקוביה:  `(1+6)/2=3.5`

בדוגמת השחיינים: `(1+8)/2=4.5`

בדוגמת הסביבון: `(7+10)/2=8.5`

 

חישוב סטיית התקן של משתנה מקרי בדיד שהתפלגותו אחידה

סטיית התקן היא שורש השונות. לכן, נחשב תחילה את השונות.

חישוב השונות נעשה בשני מהלכים:

מהלך 1- מעלים בחזקה את הפער שבין כל ערך לתוחלת, וכופלים את התוצאה בהסתברות לקבלת הערך.

מהלך 2- מסכמים את התוצאות שהתקבלו במהלך 1. התוצאה היא השונות. 
חישוב השונות בכל אחד מהמשתנים הנ"ל מוצג בטבלה 2.26.

טבלה #2.26

המשתנה המקרי

השונות

צורת החישוב

סטיית התקן

תוצאת הקובייה

`sqrt(2(11)/12)`

`1/6*(1-3.5)^2+1/6*(2-3.5)^2+1/6*(3-3.5)^2+1/6*(4-3.5)^2+1/6*(5-3.5)^2+1/6*(6-3.5)^2=`

`sqrt(2(11)/12)=1.708`

השחיין המנצח

5.25

`1/8*(1-4.5)^2+1/8*(2-4.5)^2+1/8*(3-4.5)^2+1/8*(4-4.5)^2+1/8*(5-4.5)^2+1/8*(6-4.5)^2+1/8*(7-4.5)^2+1/8*(8-4.5)^2=`

`sqrt(5.252)=2.291`

תוצאת הסביבון

1.25

`1/4*(7-8.5)^2+1/4*(8-8.5)^2+1/4*(9-8.5)^2+1/4*(10-8.5)^2=`

`sqrt(1.25)=1.118`

 

נוסחה מקוצרת לחישוב השונות

מעלים בריבוע את מספר הערכים האפשריים של המשתנה המקרי, מפחיתים 1, ואת התוצאה מחלקים ב-12:   `(n^2-1)/12`
n - מספר הערכים של המשתנה המקרי

נפעיל את הנוסחה עבור 3 המקרים הנ"ל:

בדוגמת הקוביה: `(6^2-1)/12=35/12=2(11)/12`

בדוגמת השחיינים: `(8^2-1)/12=63/12=5.25`

בדוגמת הסביבון: `(4^2-1)/12=15/12=1.25`

 

כדי למצוא את סטיית התקן יש להוציא שורש לשונות.

משתנה מקרי אחיד550משתנה מקרי אחיד