רווח סמך- דוגמאות

שאלה 1

במחקר על רמת האינטלגנציה של ילידי הארץ הועברו מבחני אינטלגנציה ל – 36 ילדים מילידי הארץ ונמצא כי ממוצע המדגם היה 106.9 יחידות אינטליגנציה. ידוע כי ציוני האינטלגנציה מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן של 15 יחידות אינטליגנציה (התוחלת לא ידועה).

מצא רווח סמך ברמת בטחון של 90% לתוחלת רמת האינטלגנציה של ילידי הארץ.
כיצד תשתנה תשובתך אם רמת הבטחון צריכה להיות 95%?

פתרון שאלה 1

הקדמה

משתנה הבסיס – התפלגות ציוני האינטליגנציה של כלל אוכלוסיית הילדים ילידי הארץ.

משתנה הממוצע – התפלגות ממוצע ציוני האינטלגנציה של קבוצות בנות 36 ילדים ילידי הארץ.
2 המשתנים משתייכים לאותה אוכלוסייה (ילדים ילידי הארץ).

סטיית התקן של משתנה הבסיס היא 15, וגודל המדגם הוא 36. לכן סטיית התקן של משתנה הממוצע היא `2.5=15/sqrt(36)` .

סעיף א'

כדי שרמת הסמך תהיה 90% הגבול התחתון של מרווח הסמך צריך להיות 1.64 סטיות תקן מתחת לאומדן, והגבול העליון – 1.64 סטיות תקן מעל לאומדן.

גבול תחתון – הערך הנמצא 1.64 סטיות תקן מתחת לאומדן הוא `102.8=2.5*1.64-106.9`
גבול תחתון – הערך הנמצא 1.64 סטיות תקן מעל לאומדן הוא `111=2.5*1.64+106.9`

מרווח הסמך לתוחלת ברמת סמך של 90% הוא בין 102.8 יחידות אינטליגנציה לבין 111.0 יחידות אינטליגנציה.

סעיף ב'

מרווח סמך ברמה של 95% יהיה גדול יותר ממרווח סמך ברמה של 90%.

כדי שרמת הסמך תהיה 95% הגבול התחתון של מרווח הסמך צריך להיות 1.96 סטיות תקן מתחת לאומדן, והגבול העליון – 1.96 סטיות תקן מעל לאומדן.

גבול תחתון – הערך הנמצא 1.96 סטיות תקן מתחת לאומדן הוא `102=2.5*1.96 – 106.9`
גבול עליון – הערך הנמצא 1.96 סטיות תקן מעל לאומדן הוא `111.8=2.5*1.96 + 106.9`

מרווח הסמך לתוחלת ברמת סמך של 95% הוא בין 102.0 יחידות אינטליגנציה לבין 111.8 יחידות אינטליגנציה.

שאלה 2

מפעל צמיגים מייצר צמיגים כך שהלחץ המקסימלי שלהם מתפלג נורמלית עם סטיית תקן של 0.7 אטמוספרות ותוחלת לא ידועה. נלקח מדגם בן 16 צמיגים ונמצא כי ממוצע הלחץ המקסימלי שלהם היה 2.8 אטמוספרות.

מצא רווח סמך ברמת בטחון של 95% לתוחלת הלחץ המקסימלי של הצמיגים במפעל.
כיצד תשתנה תשובתך אם מספר הצמיגים במדגם יהיה 100 (והממוצע עדיין 2.8 אטמוספרות)?

פתרון שאלה 2

הקדמה

משתנה הבסיס – לחץ האוויר המקסימלי בצמיגי המפעל.

משתנה הממוצע – ממוצע לחץ האוויר המקסימלי בקבוצות בנות 16 צמיגים.
2 המשתנים משתייכים לאותה אוכלוסייה (צמיגי המפעל).

סטיית התקן של משתנה הבסיס היא 0.7 אטמוספרות, וגודל המדגם הוא 16. לכן סטיית התקן של משתנה הממוצע היא `0.175=0.7/sqrt(16)` .

סעיף א'

גבול תחתון – הערך הנמצא 1.96 סטיות תקן מתחת לאומדן הוא `2.457 = 0.175*1.96 – 2.8`
גבול עליון – הערך הנמצא 1.96 סטיות תקן מעל לאומדן הוא `3.143 = 0.175*1.96 + 2.8`

בהסתברות של 95% התוחלת נמצאת במרווח שבין 2.457 אטמוספרות לבין 3.143 אטמוספרות.

סעיף ב'

משתנה הממוצע משתנה והוא כעת ממוצע לחץ האוויר המקסימלי בקבוצות בנות 100 צמיגים (ולא 16 כמקודם).
לפיכך תשתנה גם סטיית התקן של משתנה הממוצע: סטיית התקן של משתנה הבסיס היא 0.7 אטמוספרות (ללא שינוי), וגודל המדגם הוא 100. לכן סטיית התקן של משתנה הממוצע היא `0.07=0.7/sqrt(100)`