תורת הצרכן ב'

פונקציה לינארית

הקדמה

מעטפת הפונקציה היא לוח שטוח (משטח) בצורת משולש.
הקודקוד התחתון עומד על ראשית הצירים ו- 2 הקודקודים האחרים עולים כלפי מעלה בזווית כלשהי.

 

תוואי עקומות האדישות

עקומות האדישות הן קווים ישרים שיורדים משמאל לימין. 

השיפוע שלהן הוא:  `(-alpha/beta)`  

 תוואי עקומת האדישות

הסבר לחישוב השיפוע

פונקצית התועלת הלינארית נראית כך: `u(x,y)=alphax+betay`  

עקומת אדישות מתארת קבוצה של סלים אשר להם תועלת זהה עבור הצרכן. נסמן את התועלת הזו ב-*u

    `u^(*)=alphax+betay=>betay=u^(*)-alphax=>y=u^(*)/betax+alpha/betax` 

כיוון ש-*u קבוע, נותרו רק שני משתנים במשוואה: x ו-y. נבודד את y בצד שמאל: `y=-alpha/betax+(u^(*))/beta` 

זוהי למעשה משוואת קו ישר ששיפועו  `(-alpha/beta)` 

 

תוואי הרצועה מעל קו תקציב והשפעתו על הסל הנבחר

הרצועה היא בצורת קו ישר שכן מעטפת הפונקציה היא משטח.
הרצועה יכולה להיות במגמת עליה (שיפוע חיובי), במגמת ירידה (שיפוע שלילי) או מאוזנת מקבילה לציר ה-x).

  • כאשר תוואי הרצועה עולה (תרשים 7), הסל הנבחר נמצא בסוף קו התקציב (נקודת המפגש עם ציר ה-x), וההסבר, תוספת של x (במקביל לגריעה מ-y), רק מגדילה את התועלת.
  • כאשר הרצועה יורדת (תרשים 8), הסל הנבחר נמצא בתחילת קו התקציב (0=x), תוספת של x (במקביל לגריעה מ-y), רק מקטינה את התועלת.
  • כאשר הרצועה מאוזנת (תרשים 9), כל סל על קו התקציב מניב אותה תועלת ולפיכך הוא יכול להיות ב"מעמד" של סל נבחר.

קו התקציב - תרשימים 7,8,9

                       

מציאת תוואי הרצועה

נציב בפונקציית התועלת את נקודות הציון של קו התקציב.

את ערכי y נציב באמצעות החלופה שלו בערכי x:  `(y=)[I/P_(y)-P_(x)/P_(y)*x]`

והתוצאה: `U(x)=(betaI)/P_(y)+x(alpha-(betaP_(x))/P_(y))`

היות והרצועה עכשיו רק היא פונקציה של x הסימול משתנה מ- (u(x,y  ל- (u(x

תוצאת הפונקציה מציגה את תוואי הרצועה מעל קו התקציב.

 

מציאת הסל הנבחר

באמצעות הנגזרת של ux נמצא את מגמת השיפוע של הרצועה.

כאשר: 

`u_xgt 0` הרצועה במגמת עלייה
`u_xlt 0` הרצועה במגמת ירידה
`u_x= 0` הרצועה מאוזנת

הנגזרת של ux היא: `u_(x)=alpha-(betaP_(x))/P_(y)` 

 

התנאים שבהם הנגזרת היא: שלילית, חיובית או 0.

תוצאת הנגזרת מושפעת מיחס המחירים בשוק וכן מהפרמטרים α ו- β.

נגזרת שלילית מתקבלת כאשר:  `alpha<(betaP_(x))/P_(y)` , או בשינוי קל, כאשר: `alpha/beta*P_(y)>P_(x)` 

נגזרת חיובית מתקבלת כאשר:  `alpha>(betaP_(x))/P_(y)` , או בשינוי קל, כאשר:  `alpha/beta*P_(y)>P_(x)` 

נגזרת 0 מתקבלת כאשר: `alpha=(betaP_(x))/P_(y)` , או בשינוי קל, כאשר: `alpha/beta*P_(y)=P_(x)` 

 

פונקציית הביקוש ל- x

את פונקציית הביקוש ל- x אנו בונים על בסיס 3 התרחישים האפשריים של תוצאת הנגזרת (שלילי, חיובי ו- 0). הפונקציה מוצגת בטבלה 1.

טבלה #1
טור 1 טור 2 טור 3   =X

מקרה I

`alpha/betaP_(y)<P_(x)` 0

מקרה II

 `alpha/beta*P_(y)>P_(x)` 0 .....`I/P_(x)`  

מקרה III

 `alpha/beta*P_(y)=P_(x)` `I/P_(x)` 

הסבר לטבלה 1

Px הוא משתנה ואילו I, Py, α ו- β הם נתונים קבועים.

את השורות בטבלה צריך לקרוא משמאל לימין באופן הבא: x שווה לערך (או אחד מהערכים) המופיע בצד שמאל, אם מתקיים התנאי המופיע בצד ימין. למשל:

[x=0] כאשר `[alpha/beta*P_(y)<P_(x)]` , כלומר, x שווה אפס כאשר Px (מחיר מוצר x) גבוה יחסית ל-P(מחיר מוצר y).
  

הביטוי `[ X=0....I/P_(x)]`  משמעו ש- x יכול לקבל כל ערך מ-0 עד `I/P_(x)`  

`I/P_(x)`  היא הכמות המקסימלית שאפשר לרכוש מ- x במסגרת התקציב.

 

מבנה פונקציית הביקוש ל- x

  1. מקרה I - מתייחס למצב שבו הנגזרת שלילית. המשמעות היא ששיפוע הרצועה (מעל קו התקציב) במגמת ירידה, ולפיכך כל תוספת של x (במקביל לגריעה מ- y), רק מקטינה את התועלת. לפיכך, בסל הנבחר 0=x וכל התקציב מופנה לרכישת מוצר y.
  2. מקרה II - מתייחס למצב שבו הנגזרת חיובית. המשמעות היא ששיפוע הרצועה חיובי ולפיכך כל תוספת של x (במקביל לגריעה מ- y) רק מגדילה את התועלת. לפיכך בסל הנבחר כל התקציב מופנה לרכישת מוצר x, ו- 0=y.
  3. מקרה III - מתייחס למצב שבו הנגזרת שווה 0. המשמעות היא שהרצועה אופקית ולפיכך העברת כסף מרכישת מוצר y לרכישת מוצר x ולהיפך, אינה מורידה ואינה מעלה את התועלת, או במילים אחרות, כל חלוקה אפשרית בין מוצר x למוצר y במסגרת תקציב נתון תניב את אותה התועלת.

 

כינויים לתוצאות המתקבלות מהנגזרת

כאשר `alpha/betaP_(y)<P_(x)` אנו נאמר ש: Px  נחשב ליקר (ולא נרכוש כלל ממוצר x).

כאשר `alpha/beta*P_(y)>P_(x)` אנו נאמר ש: Px  נחשב לזול (ונרכוש רק ממוצר x).

כאשר  `alpha/beta*P_(y)=P_(x)` אנו נאמר ש: Px נחשב לגבולי (אנו אדישים בין המוצרים)

דוגמה למציאת הסל הנבחר בפונקציה לינארית ב- 3 תרחישי מחירים

צורת הפונקציה: `u(x,y)=3x+2y` 

בטבלה 2, בטורים 2-4, מפורטים נתוני השוק בכל תרחיש.

בטור 5 חושב הביטוי `(1.5P_(y)=) alpha/betaP_(y)`   בכל אחד מהתרחישים.

בטור 6 מצויינת ההתייחסות לרמת המחיר של Px, ובטור 7 חושבה הכמות של x בסל הנבחר.

טבלה #2

תרחישים

I

 Px

Py 

`(alpha)/(beta)`P_y` `  

התייחסות ל- Px

הכמות של x בסל הנבחר

1

תרחיש 1

100

5

8

12

זול

20

תרחיש 2

100

16

4

6

יקר

0

תרחיש 3

100

15

10

15

גבולי

6.67...0

תוואי עקומת הביקוש ל- x (תרשים 10) - בליווי דוגמה:

נתוני הדוגמה:   

`u(x,y)=3x+2y`  `[alpha/beta=1.5]`                                 

I = 120  ש"ח   
Py = 20  ש"ח   
Px - משתנה
 
תרשים 10
תוואי עקומת הביקוש ל- x

נשרטט את הצירים x ו-Px ונסמן על ציר המחיר (Px) את המחיר 30 ש"ח `alpha/betaP_(y)=` 
עקומת הביקוש מורכבת מ-3 קטעים בהתאם ליחס שבין Px ל `alpha/betaP_(y)` .
 
  • קטע 1 מתייחס לתרחיש שבו Px נחשב ליקר (Px > 30).
    בקטע זה לא נרכוש כלל ממוצר x. קטע 1 חופף לציר ה-y (ציר המחיר – P
    x) מ- 30 ש"ח ומעלה.
  •  
  • קטע 2 מתייחס לתרחיש שבו Px נחשב גבולי (Px = 30).
    אנו אדישים בין 
    מוצר x למוצר y. הכמות המקסימלית שנוכל לקנות ממוצר x במסגרת התקציב היא 4 יח' `I/P_(x)=` .
  • קטע 2 אופקי בגובה 30 ש"ח, בתחום שבין 0 יח' x ל- 4 יח' x.
  •  
  • קטע 3 מתייחס לתרחיש שבו Px נחשב לזול (Px < 30). בקטע זה נרכוש רק מוצר x, בכמות של `I/P_(x)` .
ככל ש- Px זול יותר, יש באפשרותנו לרכוש כמויות גדולות יותר מ- x.

 

לדוגמה:  
כאשר 20 = Px  ש"ח, נרכוש 6 יח'  `120/20` 
כאשר 10 = Px  ש"ח, נרכוש 12 יח' `120/10` 

התוואי הוא עקום קמור שיורד מסוף קטע 2.

עוד נראה בהמשך שהגמישות של קטע 3 היא יחידתית, כלומר על כל ירידה של 1% במחיר, הכמות המבוקשת גדלה ב- 1%.

פונקציה לינארית585פונקציה לינארית