תורת הצרכן ב'

פונקציית תועלת מסוג קוב דאגלס K&D U(x,y) = xα·yβ

תוואי עקומות האדישות    

`u(x,y)=x^(alpha)*y^(beta)`

התוואי שמאפיין את עקומות האדישות שמתקבלות מפונקציית K&D הוא עקומה קמורה שיורדת משמאל לימין.

תרשים 1

פונקציית תועלת מסוג קוב דאגלס - תרשים 1

מציאת הסל הנבחר

במיקום הסל הנבחר ערכי x ו- y מקיימים 2 תנאי שוויון:

משוואה 1:  `I=x*P_(0)+y*P_(0)`  הסל ממוקם על קו התקציב

משוואה 2:  `(Uy(x,y))/(Py)=(Ux(x,y))/(Px)`   עלות התועלת שווה ב-2 המוצרים. 

מפתרון 2 תנאי השיוויון מתקבלות התוצאות של x ו-y בצורת משוואה.  (להזכירכם – α ו- β הם פרמטרים של החזקות בפונקציה מסוג קוב דאגלס).

1.    `x=(alpha*I)/((alpha+beta)*Px)`

2.    `y=(beta*I)/((alpha+beta)*Py)`    

פירוט מהלכי הפתרון

נציב את הנגזרות הרלוונטיות במשוואה 2, המחייבת שוויון עלות-תועלת:

`(alphax^(alpha-1)y^(beta))/(P_(x))=(betax^(alpha)y^(beta-1))/(P_(y))`

תזכורת:
`u_(x)(x^(alpha))=alpha*x^((alpha-1))` 
`u_(y)(y^(beta))=beta*y^((beta-1))` 

כידוע,  `x=x^(alpha)/x^(alpha-1)` 

נעזר בזהות זו, נבודד את y ונקבל: `y=beta/alpha *P_(x)/P_(y) * x` 

נציב משוואה זו במשוואת קו התקציב:

`I=x*P_(x)+beta/alpha *P_(x)/P_(y) * x *P_(y)=x*(P_(x)+beta/alpha *P_(x))=x*(alpha+beta)/(alpha) *P_(x)` 

`x=(alpha*I)/(alpha+beta*P_(x))` 

                                   

קיבלנו את x. כעת נציב במשוואה שקיבלנו עבור y לעיל: `y=beta/alpha*P_(x)/P_(y)*(alpha*I)/((alpha+beta)*P_(x))=(beta*I)/((alpha+beta)*P_(y))` 

הבחנה בין: פונקציית הביקוש ל- x ועקומת הביקוש ל- x

הקדמה

בהצגה גרפית של פונקציה, מקובל להציב את ערכי המשתנה על ציר ה- x ואת ערכי התוצאה על ציר ה- y.
בתרשים 2 מוצגת פונקציית הביקוש ל- x שצורתה `x=(alpha*I)/(alpha+beta*P_(x))` 

Px – הוא המשתנה.
x – היא התוצאה.                                                                             

תרשים 2

פונקציית הביקוש ל- x ועקומת הביקוש ל- x

 

עקומת הביקוש

למרות זאת, כאשר מתייחסים לעקומת הביקוש ל- x המשתנה PL מוצג על ציר ה- y ואילו התוצאה x מוצגת על ציר ה- x, כמו בתרשים 3.

תרשים 3 

עקומת הביקוש

את פונקציית עקומת הביקוש ניתן לקבל בקלות מפונקציית הביקוש על ידי כך שמבודדים את Px ומקבלים: `P_(x)=(alpha*I)/((alpha+beta)*x)` 
x הופך למשתנה ו-Px לתוצאה.

היפוך הצירים בעקומת הביקוש נעשה מטעמי נוחות.

 

תוואי עקומת הביקוש כפי שמתקבל מפונקציית הביקוש

תרשים 3 מאפיין את התוואי.
עקום קמור שיורד משמאל לימין.

צורת העקומה מתאימה לאינטואיציה הכלכלית: ככל שמחיר המוצר גבוה יותר, כך הכמות המבוקשת לאותו מוצר יורדת.

פונקציית תועלת מסוג קוב דאגלס K&D U(x,y) = xα·yβ 586 פונקציית תועלת מסוג קוב דאגלס K&D  U(x,y) = xα·yβ