תורת הצרכן ב'

תזכורת מתמטית, בהקשר של פונקציית תועלת

1. הנגזרת הראשונה לפי x שסימולה `ux(x,y)`  נותנת ביטוי לכמות יחידות התועלת שמתווספות בעקבות גידול של 1 יח' במוצר x. למעשה הנגזרת בנקודת ציון כלשהי מחשבת את שיפוע הפונקציה כלפי הנקודה שלימינה. אם לדוגמה הנגזרת לפי x היא 5, המשמעות היא שתוספת של 1 יח' מ- x מניבה תוספת של 5 יח' תועלת. הנגזרת הראשונה לפי y שסימולה `uy(x,y)` , נותנת ביטוי לכמות יח' התועלת שמתווספות בעקבות גידול של 1 יח' במוצר y. 

  • רצועה

אנו מכנים רצועה את תוואי הפונקציה שמעל קו או עקום במישור הצירים. במיוחד נתייחס לרצועה שמעל קו התקציב. הרוחב והעובי של הרצועה הם מיקרוסקופיים בדומה למימדים של העקום במישור הצירים. למעשה הרצועה היא דו מימדית.
הקשר בין הרצועה לסל הנבחר 
הסל הנבחר ממוקם מתחת לנקודת הקיצון של הרצועה.

נקודת קיצון 

    • קו גובה

    אנו מכנים קו גובה את הקו המחבר בין כל הנקודות על המעטפת שהן בעלות אותו גובה או במילים אחרות, הן בעלות אותה תוצאה.

    מקרא

    `I` – סכום התקציב

    `P_x`  – מחיר מוצר `x`

    `P_y`  – מחיר מוצר `y`

    `x` – כמות היחידות מ- `x`

    `y` – כמות היחידות מ- `y`


    • קו תקציב

    משוואת קו תקציב היא: `I=x*P_(x)+y*P_(y)`  

    אם נבודד את y נקבל:     `y=I/P_(y)-P_(x)/P_(y)*x`

    לביטוי  `I/P_(y)-P_(x)/P_(y)*x`

    כל נקודת ציון (x,y) על קו התקציב ניתן להציג בערכים של x ובאמצעות החלופה של y. ערכי נקודת הציון יהיו: `[(I/P_(y)-P_(x)/P_(y)*x),x]`

    2. חישוב העלות של יחידת תועלת

    אם בהרכב כלשהו של x ו- y בסל, תוספת של 1 יח' מ-x, שמחירה 5 ש"ח, מוסיפה 10 יח' תועלת לסל, אזי בממוצע העלות של כל 1 יח' תועלת שהתווספה היא:

     חישוב עלות של יחדת תועלת

    דרך אחרת היא לבחון כמה יחידות תועלת התווספו לנו לכל 1 ש"ח נוסף שהשקענו במוצר x:
    בממוצע על כל תוספת של 1 ש"ח התווספו 2 יחידות תועלת:

     חישוב עלות של יחדת תועלת

    ובאופן כללי:
    כמות יח' תועלת שהתווספו מהוצאת 1 ש"ח לקניית מוצר x שווה ל `(u_(x)(x,y))/P_(x)`

    `u_(x)(x,y)` מציינת את כמות יחידות התועלת שהתווספו.
    Px המחיר של יחידה מ- x.

    באותה מתכונת, כמות יח' תועלת שהתווספה מהוצאה של 1 ש"ח לקניית מוצר y  שווה ל- (uy(x,y `(u_(y)(x,y))/P_(y)`  ` `

    בכל הרכב של x ו- y תוצאת הנגזרת יכולה להשתנות וכפועל יוצא, גם העלות ליח' תועלת משתנה (או תוספת התועלת לכל ש"ח שנשקיע בקניית מוצר x או y).

    3. תועלת שולית - הגדרה   
    יחידת התועלת האחרונה שהתווספה לסל.

    4. עלות התועלת השולית - הגדרה     
    העלות של יחידת התועלת האחרונה שהתווספה לסל.

    5. בסל הנבחר, עלות התועלת השולית שווה ב- 2 המוצרים

    כלומר: `(u_(x)(x,y))/P_(x)` =`(u_(y)(x,y))/P_(y)`

    ` `

    לשיוויון זה נקרא: שיוויון עלות התועלת השולית (בסל הנבחר).

    הערה: למעשה זהו שוויון של ההופכי לעלות התועלת השולית – כלומר, שוויון בכמות יחידות התועלת שנקבל אם נשקיע 1 ש"ח נוסף במוצר x או במוצר y, אך ממנו נובע כמובן גם שוויון עלות התועלת השולית.

    הסבר לקיום השיוויון

    נניח שבסל נבחר, שנסמלו C, לא מתקיים שוויון, ונניח שמתקיים בו `(u_(y)(x,y))/P_(y)` .

    המשמעות היא שתמורת 1 ש"ח שנשקיע במוצר x נקבל יותר יחידות תועלת מאשר נקבל אם נשקיע את אותו 1 ש"ח במוצר y. נוכל לכן למכור יחידות מוצר y ולקנות במקומן יחידות מוצר x, תוך כדי שמירה על האיזון התקציבי, ובכך להגדיל את התועלת, כלומר, הסל C אינו אופטימלי.

    דוגמה להמחשה

    נניח שבמועד א' העלות השולית שווה ב-2 המוצרים והיא 2 ש"ח ליח' תועלת, ואנו מחליטים לרכוש חצי יחידת תועלת באמצעות x תמורת 1 ש"ח וחצי יח' תועלת באמצעות y תמורת 1 ש"ח.
    אם במועד ב' מחירי המוצרים משתנים וכתוצאה מכך העלות השולית כבר אינה שווה ב-2 המוצרים, למשל, במוצר x היא 2.5 ש"ח ובמוצר y היא 2 ש"ח, אזי במועד ב' נרכוש את יחידת התועלת האחרונה רק באמצעות y (המוצר הזול) וסל C בהרכבו המקורי לא יהיה עוד הסל הנבחר.
    התחלופה בין 2 המוצרים תימשך עד שיתקיים השיוויון בין העלויות השוליות ב-2 המוצרים.

    6. שימושים נרדפים: x ומוצר xy ומוצר y

    בהמשך יהיו מעט פעמים שנתנסח באריכות ונאמר: תוספת של יחידה ממוצר x או המחיר של יח' ממוצר x.

    ויהיו הרבה פעמים שנתנסח בקיצור ונאמר: תוספת של יחידת x או המחיר של יחידת x או אפילו המחיר של x, כאשר ברור שהכוונה ל- 1 יח' של x.

     

    התנסחות באריכות

    התנסחות בקיצור

    תוספת של יחידה ממוצר x

    תוספת של יחידה x

    המחיר של יחידה ממוצר x

    המחיר של יחידה x או המחיר של x

    תזכורת מתמטית, בהקשר של פונקציית תועלת574תזכורת מתמטית, בהקשר של פונקציית תועלת